Baser
Jag fick fram att utgör en bas för kolonrummet Col(A) vilket stämmer enligt facit.
Jag vet dock inte hur jag ska gå tillväga för att hitta Nul A^T, i lösningen börjar de med att skriva att(betyder det att nollrummet av transponat A är ekvivalent med kolonnrummet för ortogonaliserade matrisen A?). De skriver sedan att dim(Nul A^T)=3-dim(ColA)=3-2=1 vilket jag inte riktigt förstår, jag vet att det finns formeln rank(A) + nullity(A) = n men den kanske inte är relaterad till det lösningen använder sig av?
Det upp-och-ned vända T:et betyder det ortogonala komplementet, dvs samtliga vektorer i R3 (eftersom att Col(A) spänner upp R3) som är ortogonala mot Col(A).
Du vet redan att detta rum bara kan spännas upp av 1 vektor, eftersom att Col(A) spänns upp av 2 vektorer, och sammanlagt ska de spänna upp R3.
Den sista 2 ekvationerna du skriver är identiska eftersom att rank(A)=dim(Col(A))
Tillägg: 3 nov 2023 22:57
Uppgiften blir således att hitta en vektor i R3 som är ortogonal mot de 2 vektorerna som du fick fram för Col(A).
Ett sätt att göra detta på är att ta fram en vektor som är linjärt oberoende mot de andra 2 (kontrollera skalärprodukt). Sedan använda projektion för att "skala av" den linjärt beroende komposanten av din framtagna vektor.
Och vektorprodukten av de två vektorerna ger en sådan ortogonal vektor.
