Baser

De tre vektorerna u1, u2, u3, utgör en bas för ett vektorrum V. En ny bas definieras av de tre vektorer v1 =2u1 + u2, v2 =2u1 + u2 + u3, v3 =2u1 +2u2 + u3. Vektorn w har koordinaterna (4,−5,1) i basen {u1,u2,u3}. Vilka koordinater har w i basen {v1,v2,v3}?

Är det inte bara att sätta in w koordinater i v1, v2, och v3, dvs ersätta u1 med 4, u2 med -5 och u3 med 1? Vilket i sin tur ger (3,4,-1). Men detta stämmer inte överens med facit, då det tydligen ska bli (1,8,-7)

Tyvärr går det inte, eftersom vi då får $12 u_{1} + 5 u_{2} + 3 u_{3} = {(12, 5, 3)}_{u}$ när vi konverterar tillbaka. Istället måste vi hitta något sätt att pussla ihop basvektorerna i v, så att vi får $4 u_{1} - 5 u_{2} + u_{3}$ när vi konverterar tillbaka. Exempelvis kan vi notera att $v_2-v_1=u_3$ . Hur är det med övriga basvektorer i u? Hur kan vi uttrycka dessa med hjälp av basvektorerna i den nya basen, v? :)

Mhm, man kan inte göra såhär då? $[\begin{matrix} 2 & 1 & 0 & 4 \\ 2 & 1 & 1 & - 5 \\ 2 & 2 & 1 & 1 \end{matrix}]$ och lösa matrisen?

Jodå, det går bra, men givet hur basen v ser ut tror jag att det är tänkt att du ska pussla lite själv. Men det går utmärkt det med. Dock måste du vara noggrann med ordningen när du gaussar. Tänk på att du löser systemet $A v = u$ . Vad blir A då? :)

Okej, så efter gaussning får jag matrisen $[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 9 \end{matrix}]$ . Så du menar att det jag har fått ut här är v? Nu tappade du mig tyvärr helt 😅

Det jag menar är konstruktionen av matrisen A. Vektorerna har formen:

$A \cdot [\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix}] = [\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \end{matrix}]$

Det innebär att A måste ha "strukturen"

$[\begin{matrix} v_{1} & v_{2} & v_{3} \\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix}] = [\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \end{matrix}]$

annars blir det knasigt när du multiplicerar ihop vänsterledet. I korthet, matrisen du behöver gaussa är

$[\begin{matrix} - & v_{1} & - & | & 4 \\ - & v_{2} & - & | & - 5 \\ - & v_{3} & - & | & 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 2 & 2 & 2 & | & 4 \\ 1 & 1 & 2 & | & - 5 \\ 0 & 1 & 1 & | & 1 \end{matrix}]$

Jaha, okej. Så jag skrev in vektorerna fel. Men då får jag ut (1,8,-7) när jag gjorde så istället. Vilket stämmer!

Helt rätt! :)

Svara

Visa senaste svar