Basbytesmatris (Slutboss fiende)

Tänk på om du roterar en vektor eller basvektorerna.

Detta matris är rotation för basvektorerna, eller hur menar du?

Om R roterar vektorer så roterar inversen av R basen. Ett tips vid basbyte är rita upp en vektor och beräkna dess komponenter i den nya basen. Om en vektor har komponenterna [1,0] i gamla basen vilka komponenter har den i nya basen.

Jag ber om ursäkt. Jag märker nu att jag har inte skrivit provfråga. Så vad jag är efter blir oklart.

Jag vill bestämma rotationen, alltså den andra transformation (andra kan jag).

Men när jag gör det blev det fel trots att jag har följt anvisningar från vår lärobok.

Jag menar att jag förstår inte varför rotationsmatrisen är:

$\left(\begin{array}{ccc}\cos \frac{\pi }{2}& 0& \sin \frac{\pi }{2}\\ 0& 1& 0\\ -\sin \frac{\pi }{2}& 0& \cos \frac{\pi }{2}\end{array}\right)$ och inte $\left(\begin{array}{ccc}\cos \frac{\pi }{2}& 0& \mathbf{-}\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{2}}\\ 0& 1& 0\\ \mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{2}}& 0& \cos \frac{\pi }{2}\end{array}\right)$ som jag får, när jag följer boken OCH när jag försöker bestämma avbildning av basvektorer...

Det står rotationen sett från spetsen av y-axeln. Vanligen ses rotationen bakifrån rotations axeln. Rotations matrisen i boken ses bakifrån.

Jag är inte säkert att jag visualiserar vad du säger. Kan du rita :)?

Edit: dessutom, varför stämmer det inte med vad står i boken?

Så här tolkar jag en moturs rotation kring y-axeln:

För en vridning 90° innebär det att x-axeln (1 0 0) avbildas på (0 0 -1).

y-axeln (0 1 0) avbildas på sig själv (0 1 0)

z-axeln (0 0 1) avbildas på (1 0 0)

$R_{y}=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\-1&0&0 \end{pmatrix}$

Tänk dig att y-axeln pekar in eller ut ur papperet. Enligt uppgiften pekar då y-axeln ut ur papperet eftersom rotationen ses från spetsen av y-axeln.

Tack båda.

Men varför boken säger att en rotation moturs är (jag har tagit bort axeln som inte roterar):

$\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$

Hej Daja,

Här är min artistiska tolkning av en rotation $\theta$ moturs runt z-axeln. Vi står alltså vid spetsen av z-axeln och tittar ned på xy-planet.

Av figuren kan vi utläsa att den första basvektorn $\mathbf{e_1}$ avbildas på

$F(\mathbf{e_1})=\begin{pmatrix}\cos(\theta)\\ \sin(\theta)\end{pmatrix}$

Den andra basvektorn (som har vinkel $\frac{\pi}{2}+\theta$) avbildas på

$F(\mathbf{e_2})=\begin{pmatrix}\cos(\frac{\pi}{2}+\theta)\\ \sin(\frac{\pi}{2}+\theta)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\sin(\theta)\\ \cos(\theta)\end{pmatrix}$

Alltså är avbildningsmatrisen $R_z$ för F

$R_z=\begin{pmatrix}\cos(\theta)&-\sin(\theta)\\ \sin(\theta) &\cos(\theta)\end{pmatrix}$.

Här är en bild med en som förklarar vad som menas med att du står vid spetsen av z-axeln och tittar ned på xy-planet.

Detta är samma sak som skruvregeln om du kommer ihåg den från gymnasiefysiken. Sätt tummen i z-axelns positiva riktning. Nu är moturs rotation en rotation i fingertopparnas riktning.

När du står vid spetsen av y-axeln och tittar ned på xz-planet med z-axeln uppåt så ligger x-axeln åt vänster! 

Nu avbildas basvektorerna (y-axeln avbildas på sig själv!)

$F(\mathbf{e_3})=\begin{pmatrix}\sin(\theta)\\ 0\\ \cos(\theta) \end{pmatrix}$

$F(\mathbf{e_1})=\begin{pmatrix}\cos(\theta)\\ 0\\ -\sin(\theta) \end{pmatrix}$

$F(\mathbf{e_2})=\mathbf{e_2}=\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}$

Alltså är rotationsmatrisen för en rotation $\theta$ medurs runt y-axeln

$R_z=\begin{pmatrix}\cos(\theta) & 0 & \sin(\theta)\\ 0& 1& 0\\-\sin(\theta)&0&\cos(\theta) \end{pmatrix}$.

Snyggt ritat Guggle!

Snyggt målat Guggle! Nu köper jag det.

Har du nån gång sett schackbordet av rotationsmatriser? Min doktorand visade mig. 

Man ritar flera kvadrater med $\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}$ och separerar dem med en etta som står ensam i en rad och en kolonn. Jag har förkortat $cos$ och $sin$ mot $c$ och $s$.

Och då är det bara att välja sin etta, enligt vilket rotation man vill ha, och ritar en kvadrat så att det blir en $3\times3$ matris.

Varför fungerar schacktekniken, vet du?

Jag trycker upp mitt tråd oförskämt för att jag vill veta om rotationsmatris checkmate. 

Hej Daja,

Det finns flera sätt att förklara varför det fungerar, ett sätt är att studera vad som händer när du flyttar en tänkt 3x3-ruta mellan "tillåtna" platser.

En tillåten plats är en plats där du placerar en 1:a på diagonalen, dvs (1,1), (2,2) eller (3,3). Om du kommer ihåg underdeterminanternas teckenschema eller har studerat paritetsproblem förstår du att determinanten alltid bevaras eftersom ett steg åt sidan liksom ett steg uppåt eller nedåt  betyder att två rader eller två kolonner byter plats. På de tillåtna platserna har du exakt samma transformation, det enda som har hänt är att koordinaterna har bytt namn i rätt ordning (Med Dajaord en basbyteskarusell).

Det finns många problem inom matematik som kan lösas med paritet och "överläggning" där man flyttar rutor av olika storlek och ser hur man kan "täcka" in symmetrier eller studera pariteten, något du kommer stöta på i senare kurser.

Denna minnesregel och liknande metodik kommer dock bara fungera i vissa specialfall.  Orsaken är bland annat att alla ortogonala transformationer med determinanten 1 kan bilda en grupp,  medan de som har determinanten -1 inte får bilda en grupp.

... och det blir en bra stycke att meditera ordentligt innan jag återkommer med mer frågor....

Master Guggle skrev:

''Om du kommer ihåg underdeterminanternas teckenschema eller har studerat paritetsproblem...''

Du menar, $3\times 3$ matris som dekomposerades i tre mindre submatriser under determinant beräkning? Paritetsproblem känner jag inte till än...

Ja, när du dekomposerar måste du ömsom multiplicera med + eller minus det som står på platsen du utgår från. Det blir ungefär ett sådant här teckenschema

$\begin{matrix}+&-&+\\-&+&-\\+&-&+\end{matrix}$

Hursomhelst, här är en smygövning i symmetrier för regniga och tråkiga dagar under ditt sommarlov. Den börjar lätt och blir ganska svår på slutet. Tänk dig att du flyttar runt en blå rektangel på "schackbrädet". Här är en bild på schackbrädet och den blå rektangeln i ett slumpvis valt tillåtet läge:

Du har lärt rektangeln fyra dance-moves, de är Move Up, Move Down Move Left och Move Right. Varje Dance-move flyttar rektangeln ett steg uppåt, nedåt, åt vänster eller åt höger.

Om du tittar på bilden ser du att ett steg uppåt är samma sak som att rotera innehållet i matrisen ett steg nedåt och låta sista raden hamna överst. Motsvarande gäller om du går ett steg åt sidan.

Eftersom du har tillgång till Mathematica kan du pastea följande:

Subscript[M, Down] = {{0, 1, 0}, {0, 0, 1}, {1, 0, 0}};
Subscript[M, Up] = Inverse[Subscript[M, Down]];
Subscript[M, Right] = {{0, 0, 1}, {1, 0, 0}, {0, 1, 0}};
Subscript[M, Left] = Inverse[Subscript[M, Right]];
Subscript[R, z] = RotationMatrix[\[Theta], {0, 0, 1}];

När du klippt in koden kan du markera den, högerklicka och välja Convert To-> StandardForm om du vill att den ska se snyggare ut

När du klippt in och klickat shift+enter kommer $R_z$ innehålla exakt den blå rektangeln i bilden ovan.

Nu kan du dansa runt rektangeln på schackbrädet med de danssteg du lärt din rektangel. För att gå upp och ned multiplicerar du från vänster. För att gå åt sidorna multiplicerar du från höger

Exempel: dansa ett steg nedåt och ett höger

Exempel: Dansa två steg uppåt och två steg åt vänster från den position vi hamnade i senast

Om du bara studerar matrisen $M_{Down}\cdot M_{Down} \cdot M_{Down}$ märker du en underlig sak. Det blir en matris du känner igen, vilken och varför? Vad betyder det?

Testa samma sak med $M_{Right}\cdot M_{Right} \cdot M_{Right}$ eller någon av de andra.

Vilka kombinationer av dancemoves är tillåtna för att det ska hamna en 1:a på rätt platser, dvs på diagonalen? Vilka rotationsmatriser ger det?

Överkursfråga: Operationer av typen $M_{Down}\cdot A \cdot M_Right$ är misstänkt likt hur en matris för en linjär avbildning transformeras vid övergång från en bas till en annan dvs

$A'=T^{-1}AT$

Om du låter T vara en transformation som byter plats på basvektorerna x->y, y->z och z->x och genomför transformationen på $T^{-1}R_zT$ får du $R_x$ varför? Vad motsvarar det i moves? 3x3-matrisen som bildar mönstret måste alltså uppfylla vissa kriterier för att basvektorerna ska behålla sin inbördes ordning (karusell) när du går mellan tillåtna positioner. Kan du nämna något om dessa samband?

Jag tänkte spara den till mina regniga dagar, men jag får inte schackbredet!

Måste jag ta bort '';''?

Jag får inte mer än så på min mathematica: