Basbytesmatris och rotation från den varma underjorden

God morgon! Så har turen kommit till mig att fastna på en bunt med problem. Uppgiften lyder:

Finn matrisen för rotation vinkeln 90 grader moturs kring vektorn (1,2,2).

Fine, tänkte jag, och följde häftets instruktioner. Någonstans har det blivit fullständigt galet, och jag förstår inte var. Min kära nemesis har också fastnat, men får ett annat svar som inte heller är rätt.

Mitt försök:

Vektorn $e_{3}'$ fås genom att välja uppgiftens vektor, och sedan normera denna. Då får jag att $e_{3}' = (\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$ . Sedan ska jag försöka hitta $e_{1}'$ , genom att hitta en vektor vinkelrät mot den första. Genom att utnyttja att vinkelräta vektorer har vinkelräta har punktprodukten noll har jag fått fram att en vektor som är vinkelrät mot $e_{3}'$ som är (0,1,-1). Denna normerar jag och får $e_{1}' = (0, \frac{1}{\sqrt{2}}, - \frac{1}{\sqrt{2}})$ . Då kan $e_{2}'$ fås genom att normera kryssprodukten mellan $e_{3}'$ och $e_{1}'$ .

$e_{3} \times e_{1} = (\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}) \times (0, \frac{1}{\sqrt{2}}, - \frac{1}{\sqrt{2}}) = ((\frac{2}{3} \cdot - \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}), (\frac{1}{3} \cdot - \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0), (\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} - 0 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}})) = (- \frac{4}{3 \sqrt{2}}, - \frac{1}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3 \sqrt{2}}) = \frac{1}{3 \sqrt{2}} (- 4, - 1, 1)$

Normering av vektorn ger då konstaterandet att denna vektor är en längdenhet, och alltså att $e_{2}' = (\frac{- 4}{3 \sqrt{2}}, - \frac{1}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3 \sqrt{2}})$ .

Därmed konstaterar jag att följande ekvationssystem ger basbytet:

$\{\begin{cases} e_{1}' = (0, \frac{1}{\sqrt{2}}, - \frac{1}{\sqrt{2}}) e_{2}' = (- \frac{4}{3 \sqrt{2}}, - \frac{1}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3 \sqrt{2}}) \\ e_{3}' = (\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}) \end{cases}$

Vilket ger basbytesmatrisen $Q_{e' t i l l e} = [\begin{matrix} 0 & - \frac{4}{3 \sqrt{2}} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{1}{3 \sqrt{2}} & \frac{2}{3} \\ - \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{3 \sqrt{2}} & \frac{2}{3} \end{matrix}]$ .

Rotationen är $[\begin{matrix} \cos α & - \sin α & 0 \\ \sin α & \cos α & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \to [\begin{matrix} 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$ .

$Q^{T} = Q_{e t i l l e'} = [\begin{matrix} 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{1}{\sqrt{2}} \\ - \frac{4}{3 \sqrt{2}} & - \frac{1}{3 \sqrt{2}} & \frac{1}{3 \sqrt{2}} \\ \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} \end{matrix}]$

Varför jag tycker att matrisen borde bli Q(transponat)*R*Q. När jag försöker utföra denna multiplikation går det dock snett. Enligt facit är rätt svar $A = \frac{1}{9} [\begin{matrix} 1 & - 4 & 8 \\ 8 & 4 & 1 \\ - 4 & 7 & 4 \end{matrix}]$ . Jag får fel svar för hand, och med räknaren får jag det till att $A = [\begin{matrix} \frac{1}{2} & - \frac{5}{6} & \frac{1}{3 \sqrt{2}} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{18} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ - \frac{1}{\sqrt{2}} & - 0, 3929 & \frac{4}{9} \end{matrix}]$ .

Jag antar att det jag gjort fel någonstans i basbytet, men var?

Jag och min nemesis tackar så mycket för all hjälp!

Jag hittade felet... Kanske borde man vara glad, men det känns bara dåligt att jag slarvat så illa. :(

Tututututut inte så snabbt. Låt mig kontribuera med mina egna slarv och felaktigheter innan du försöker få dett tråd att försvinna :)

Jag råkar har gått igenom samma uppgift med likadant förnedrande nederslag.

Om jag lånar Smutstvätts vektor $e'_{1}$ och korsar den med den normerade basvektorn $e'_{3}$ :

$e'_{3} \times e'_{1} = |\begin{matrix} \frac{1}{3} & 0 & e'_{1} \\ \frac{2}{3} & \frac{1}{\sqrt{2}} & e'_{2} \\ \frac{2}{3} & - \frac{1}{\sqrt{2}} & e'_{3} \end{matrix}| = [(\frac{2}{3} * - \frac{1}{\sqrt{2}}) - (\frac{1}{\sqrt{2}} * \frac{2}{3})] e'_{1} - [(\frac{1}{3} * - \frac{1}{\sqrt{2}}) - 0] e'_{2} + [(\frac{1}{3} * \frac{1}{\sqrt{2}}) - 0] e'_{3}$

= $\frac{- 4}{3 \sqrt{2}} e'_{1}, \frac{1}{3 \sqrt{2}} e'_{2}, \frac{1}{3 \sqrt{2}} e'_{3}$

Så var ny bas är:

$e'_{1} = 0, \frac{1}{\sqrt{2}}, - \frac{1}{\sqrt{2}} e'_{2} = \frac{- 4}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3 \sqrt{2}} e'_{3} = \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}$

Rotation kring $e'_{3}$ ger som Smutstvätt skrev $(\begin{matrix} 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})$ .

Så operationen är: gå till bas $e'$ , gör rotation, gå tillbaka till bas $e$ , i matrisspråk går vi åt motsatshåll:

$(\begin{matrix} 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{- 4}{3 \sqrt{2}} & \frac{1}{3 \sqrt{2}} & \frac{1}{3 \sqrt{2}} \\ \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} \end{matrix}) \underset{v i b ö r j a r h ä r}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 & \frac{- 4}{3 \sqrt{2}} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{3 \sqrt{2}} & \frac{2}{3} \\ - \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{3 \sqrt{2}} & \frac{2}{3} \end{matrix})}} (\begin{matrix} 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{- 4}{3 \sqrt{2}} & \frac{1}{3 \sqrt{2}} & \frac{1}{3 \sqrt{2}} \\ \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} \end{matrix}) \underset{}{(\begin{matrix} - \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{1}{3 \sqrt{2}} & - \frac{2}{3} \\ \begin{matrix} 0 \end{matrix} & \frac{- 4}{3 \sqrt{2}} & \frac{1}{3} \\ - \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{3 \sqrt{2}} & \frac{2}{3} \end{matrix})} =$

Det blir så fel att jag fick hyperventilering. Redan i första position har vi $\frac{1}{2}$ !!

Bett wolfram att lösa det åt mig:

Blev rätt...

Är rosa matriser rätt och jag kan inte räkna, eller kan Smutstvätt eller nåt hitta slarvfelet??

EDIT : VARMA UNDERJORD!

Den första babysbytesmatris som vi etablerade var från e' till e, och därför måste vi multiplicera den i motsatsriktning. När vi transponerar den får vi en matris från e till e'.

Det var en ganska allvarlig fel... Tack för att jag fick låna din tråd :)

Svara