Basbytesmatris

Vi kan få fram en matris för en avbildning genom att se vad som händer när enhetsvektorerna avbildas.

Vad blir $(1,0,0)$ i basen $\{u,v,w\}$ skrivet i standardbasen? Detta blir första kolonnen i matrisen.

Vad blir $(0,1,0)$ i basen $\{u,v,w\}$ skrivet i standardbasen? Detta blir andra kolonnen i matrisen och likadant med tredje.

Hjälper detta?

ska man ta x*b=(1,0,0)? 

och då blir u uttryck i standardbasen ((-1/3),(2/3),(-2,3)

och så gör man så för (0,1,0) och (0,0,1)

Nej, $(1,0,0)$ i basen $\{u,v,w\}$ betyder ju helt enkelt vektorn $u$. $(1,0,0)$ i basen $\{u,v,w\}$ kan alltså skrivas $(1,2,0)$ i standardbasen. Matrisen kommer alltså se ut så här:

$\begin{pmatrix}1&\square&\square\\2&\square&\square\\0&\square&\square\end{pmatrix}$

Vad blir de andra två kolonnerna?

Blir det inte samma bara då? alltså   

1   2  0

2  0   -1

0   1   1

blairdolf skrev:

Blir det inte samma bara då? alltså   

1   2  0

2  0   -1

0   1   1

Jo precis!

När man ska bestämma basbytesmatrisen mellan en bas $B$ och standardbasen är det bara att lägga basvektorerna som kolonner i en matris. Vill man ha matrisen för det omvända basbytet, d.v.s. från standardbasen till $B$, tar man inversen av denna matris.

Okej ! tack så mycket

Det finns en följd fråga som jag skulle vilja ha hjälp med också. Den vill att man ska bestämma standardmatrisen till T då T: R³-> R³ är en linjär avbildning som uppfyller

[T]_B= ((1,0,0),(0,-1,0),(0,0,1))

Alltså ska jag då ta inversen av T_b för att få fram standardmatrisen till T? 

blairdolf skrev:

Alltså ska jag då ta inversen av T_b för att få fram standardmatrisen till T? 

Inte riktigt. Men vi behöver använda oss av det jag talade om i mitt förra inlägg.

Vi vill ju omvandla matrisen $T_B$ till en matris som ger avbildningen i standardbasen. Basbytesmatrisen $P$ som du räknat ut byter ju från $B$ till standardbasen, och om vi då vill byta från standardbasen till $B$ använder vi $P^{-1}$. Vad vi gör då är att vi först omvandlar från standardbasen till basen $B$ med $P^{-1}$ så att vi är i basen $B$ och kan använda matrisen $T_B$. När vi gjort det vill vi omvandla tillbaka till standardbasen med $P$. Matrisen $T$ i standardbasen kan alltså beräknas med:

$T=PDP^{-1}$

(tänk på att sammansatta avbildningar läses från höger till vänster!)

EDIT: Slarvade med mitt uttryck. Det skall så klart stå $T=PT_BP^{-1}$.

Skulle du kunna ta det lite mer enkelt? Tack för all hjälp

Vi har T_B dvs T är uttryckt i basen b och vi vill då först omvandla T_b till standardmatrisen genom P^-1

vad gör man sen? 

Vi har matriserna

$P=\begin{pmatrix}1&2&0\\2&0&-1\\0&1&1\end{pmatrix}$ och $T_B=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$

Vill du få fram matrisen $T$ i standardbasen använder du formeln

$T=PT_BP^{-1}$

Jag försökte i mitt förra inlägg ge mig på att förklara varför formeln ser ut som den gör, men det kanske inte är det mest väsentliga just nu.

Tack så jättemycket! Ja jag  förstår mer nu iaf!