Basbytesmatris

Vad det gäller pedagogisk förklaring av basbyten föreslår jag 3Blue1Browns video om ämnet. 

Vad det gäller frågan: En basbytesmatris P ska uppfylla att ${\left[A\right]}_B=P_{S\to B }{\left[A\right]}_S P_{B\to S}$. Börja med att definiera vad en ortogonal matris är, och hur den fungerar. Vad utgör en ON-bas? Hur hittar man, i allmänhet, en basbytesmatris?

Antag att du har två ON baser A = {a₁, ..., a_n} och B = {b₁, ..., b_n}. Notera att a_i • a_j = b_i• b_j = ${\delta }_{ij}$ (Kronecker Delta).

Det finns då en (och endast en) matris M sådana att för i = 1, 2, ..., n.

b_i = $\sum _{k=1}^n$ M_kia_k.

_{${\delta }_{ij}$} = b_i • b_j = $\sum _{k=1}^n$M_kia_k • $\sum _{l=1}^n$M_lja_l = $\sum _{k=1}^n\sum _{l=1}^n$M_kiM_lja_k • a_l = $\sum _{k=1}^n\sum _{l=1}^n$M_kiM_{lj${\delta }_{kl}$} =

_{$\sum _{k=1}^n$}M_kiM_kj = (M^TM)_ij.

Dvs M^TM = I. Så M är ortogonal.

PATENTERAMERA skrev:

Antag att du har två ON baser A = {a₁, ..., a_n} och B = {b₁, ..., b_n}. Notera att a_i • a_j = b_i• b_j = ${\delta }_{ij}$ (Kronecker Delta).

Det finns då en (och endast en) matris M sådana att för i = 1, 2, ..., n.

b_i = $\sum _{k=1}^n$ M_kia_k.

_{${\delta }_{ij}$} = b_i • b_j = $\sum _{k=1}^n$M_kia_k • $\sum _{l=1}^n$M_lja_l = $\sum _{k=1}^n\sum _{l=1}^n$M_kiM_lja_k • a_l = $\sum _{k=1}^n\sum _{l=1}^n$M_kiM_{lj${\delta }_{kl}$} =

_{$\sum _{k=1}^n$}M_kiM_kj = (M^TM)_ij.

Dvs M^TM = I. Så M är ortogonal.

Tack, men hänger tyvärr inte alls med så jag behöver definitivt läsa på om detta.

abcdefg skrev:

Tack, men hänger tyvärr inte alls med så jag behöver definitivt läsa på om detta.

Det är ju aldrig en dålig ide att läsa på.

Videon som pepparkvarn föreslår är bra, men den beskriver såvitt jag kan se inte ett basbyte mellan två ON-baser, utan man har en ON-bas och en annan bas som inte är ON.

För att bygga lite intuition i ämnet kan jag föreslå två saker

1. Gå igenom, väldigt konkret, vad som händer om man byter bas från ON-basen i xy-planet där man har x och y som enhetsvektorer. Gör det genom att rotera bägge vektorerna en vinkel $\alpha$medurs; skriv ner de nya basvektorerna och skriv ner basbytesmatrisen. Sen kan man konstruera inversen explicit utan linjär algebra bara genom att konstatera att den transformen är samma fast med negativ vinkel -- då kommer du att se hur inversen är transponatet. Gå igenom och verifiera genom att multiplicera matriserna och kolla ortogonalitet och allt sånt.
2. Tänk på, dels i fallet i 1) och mer generellt vad som händer när man transformerar en enhetsvektor i den nya basen, och tänk på vad det innebär med linearitet -- dvs att man kan betrakta alla "siffror" som konstanta faktorer i en linjärkombination av basvektorer, och tänk speciellt på att varje vektor i den gamla basen (speciellt då även dess basvektorer) kan uttryckas som linjärkombinationer av basvektorer i den nya basen -- titta på vad som händer med varje sån term i linjärkombinationen under transformen.
3. Kolla igen på det PATENTERAMERA skrev -- som är ett väldigt kärnfullt sätt att uttrycka det generella fallet med av godtycklig dimension och det jag skissar med ord i 2) ovan.

Jag skulle kunna ge alla detaljer för 1) ovan, men det är genom att göra det för hand som man får insikter om det. Om du trots det kör fast; säg till så kan jag skissa lite.