Basbytesmatris

Om P = C^(-1)*B så är B = C*P. Men jag har inte undersökt om det löser problemet. 

Jag har gjort flera liknande uppgifter. 

Jag får rätt på hur man räknar ut basbytes matrisen. 

Men sedan när jag dubbelkollar genom att ta någon av veķtorerna eller matpriserna gånger basbytes matrisen så blir det inte alls rätt? 

Borde det inte stämma?

Här är ytterligare ett exempel

B1 = (-6, -1)  b2=(2,0)

C1=(2,-1)  c2=(6,-2)

Matrisen från b till c blir:

9    -2

-4    1

Detta är korrekt enligt facit.

Men om jag tar b1 eller b2 och multiplicerat med matrisen så får jag ju inte c1 eller c2.

Och inte tvärtom heller.

Borde man inte få det?

Du har de två baserna $b=\{b_1,b_2\}$ och $c = \{c_1,c_2\}$ i vektorrummet $\mathbb{R}^2.$ Låt vektorerna i basen $b$ bilda kolonner i matrisen $B$ och låt vektorerna i basen $c$ bilda kolonner i matrisen $C$.

    $B = \begin{pmatrix}b_{11}&b_{21}\\b_{12}&b_{22}\end{pmatrix} \text{ och } C = \begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}.$

Om matrisen $P$ transformerar från basen $b$ till basen $c$ så transformerar den matrisen $B$ till matrisen $C$ där

    $C = BP$.

Det betyder att matrisen $P^{-1}$ transformerar från basen $c$ till basen $b$ så att matrisen $C$ transformeras till matrisen $B$ där

    $B = CP^{-1} = \begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}4&3\\7&5\end{pmatrix}$.

Tack. Det där verkar vettigt och det kan jag förstå.

Då måste det vara fel i facit där det står :

-1   3

-1   4

Tack för svaret.

Om jag tar 

4   3

7   5 

Och multiplicerar med P så får jag C ! ☺

Tack!

Beräkna C * P då fås facits svar,

$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-1& 3\\ -1& 4\end{array}\right]$

Jag tror C är basbytesmatrisen från basen $\mathit{C}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{\{}{\mathit{c}}_{\mathbf{1}}\mathbf{,}\mathbf{ }{\mathit{c}}_{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{\}}$till standardbasen $\mathit{E}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{\{}{\mathit{e}}_{\mathbf{1}}\mathbf{,}\mathbf{ }{\mathit{e}}_{\mathbf{2}}\mathbf{\}}$ .

Jaha.. det där testade jag. Det var då jag fick :

-1    -1

3      4

För jag hade tagit P*C istället för C *P

Det blir ju inte samma sak..  Hur ska man veta att det är exakt C*P....?( Och inte PC)?

Och man verkar inte kunna dubbelkolla genom att ta matrisen gånger veķtorerna i B och se om de blir veķtorerna i C... 

Tack för svaret. Jag hade inte tänkt på att 

BC <> CB

Det borde stå i uppgiften att C är basbytesmatrisen från basen c till standardbasen e  och B är basbytesmatrisen från basen b till standardbasen e. Man får fundera på vad matriserna gör för något på vektorkoordinaterna dom verkar på. Den här sidan kanske är till hjälp http://ingforum.haninge.kth.se/armin/ALLA_KURSER/SF1624/BASBYTE.pdf .

Basbytesmatrisen P går från basen b till basen c, basbytesmatrisen C går från basen c till standardbasen e. Om P verkar på en koordinatvektor w given i basen b då fås en ny koordinatvektor k given i basen c. Nu verkar vi på koordinatvektor k med C då fås en koordinatvektor x given i standardbasen,

$x = C*P*w$.

Matrisen C*P verkar på en koordinatvektor w given i basen b och resultatet är en koordinatvektor x given i standardbasen. Att ha P * C fungerar dåligt eftersom C ger en  koordinatvektor given i standardbasen medan P verkar på en koordinatvektor given i basen b.

Nu har jag läst igenom den länken som Aerius skickade med.

Där står det (på sid 4) att koordinat matrisen P , för den nya basen är:

1   2

1   0 

Jag har en vektor w i standardbasen och ska skriva den i den nya basen.

W =(4  2)

Då ska man multiplicera vektor W med inversen för P för att få vektor i den nya basen.

$W^{}{P}^{-1}$

Det jag tycker är konstigt här är att man säger att P kallas basbytesmatrisen.

Är det inte inversen av P som är basbytesmatrisen?

Är det inte den matris som jag multiplicerar med vektorn som är basbytesmatrisen?

Nu ser jag att P var basbytesmatrisen från B till S. Eftersom jag skulle ha den åt andra hållet så stämmer det ju att jag ska ha inversen.