Basbytesmatris?

Som du har skrivit högst upp vill du ha b1,b2,b3 uttryckta i basen C. Detta är samma sak som att ta reda på hur varje basvektor b kan skrivas som en linjärkombination av c1,c2,c3. Det ger en vanlig matrisekvation för varje vektor i basen b och lösningarna till den blir alltså kolonnerna i basbytesmatrisen

cjan1122 skrev:

Som du har skrivit högst upp vill du ha b1,b2,b3 uttryckta i basen C. Detta är samma sak som att ta reda på hur varje basvektor b kan skrivas som en linjärkombination av c1,c2,c3. Det ger en vanlig matrisekvation för varje vektor i basen b och lösningarna till den blir alltså kolonnerna i basbytesmatrisen

Så här?

Kan ge dig b1 som exempel. Du vill bestämma ${\left[b_1\right]}_C$ vilket innebär att du vill ha koordinaterna för b i basen C. Om du kan skriva b1 som x1*c1+x2*c2+x3*c3 så får du C-koordinaterna för b1 = (x1,x2,x3) vilket är precis det du söker.

$\left[\begin{array}{ccc}1& -1& -3\\ 1& -1& 3\\ -1& -2& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 1\end{array}\right]$

Här kan du gaussa eller multiplicera med inversen från vänster för att lösa systemet. Gör detta för b2 och b3 också så får du matrisen

Hur man än gör måste man invertera en av matriserna, antingen genom att lösa ett ekvationssystem eller genom någon annan metod man lärt sig för matrisinvertering.

Så här kan man tänka:

Vi har en godtycklig vektor $u_b$ i b-basen och vill först konvertera den till e-basen det ger:

$u_e=Bu_b$

Sedan konverterar vi vektorn $u_e$ till c-basen

$u_c=C^{-1}Bu_b$

Alltså är matrisen som tar en vektor $u_b$ i b-basen till $u_c$ i c-basen $T=C^{-1}B$, där $B$ består av $[b_1\,b_2\,b_3]$ och C består av $[c_1\,c_2\,c_3]$

Edit: Rättade till ordningen, vi skulle visst från b -> c!