Basbytesmatris

Med allt drama som hänt nyligen har jag lite svårt att även förstå mina egna anteckningar, komma ihåg och komma ikapp allt matte försening som jag råkade torna upp (ja ja, excuses excuses 😏)!

Men vad menas med detta?

Vi har en matris A i basen $e 1, e 2$ . Den nya basen är $e 1', e 2'$ . (vi skiter i vektorn tecken över bokstäverna)

$e_{1}' = a e_{1} + b e_{2} e_{2}' = c e_{1} + d e_{2}$

dvs:

$(e_{1}', e_{2}') d v s E' = (e_{1}, e_{2}) d v s E (\begin{matrix} a & c \\ b & d \end{matrix}), d v s Q$

Nu kommer delen som jag kan inte förstå om:

$E' = E Q v = E X = E' X' F (v) = E Y = E' Y' Y = A X X = Q X' Y = Q Y ´ Y' = Q^{- 1} Y = Q^{- 1} A X = Q^{- 1} A Q X'$

Jag kommer ihåg vad är det vi gör, en basbyte, men jag kan inte förstå stegen, särskilt steg 2 till 4.

Hej Daja,

En matris A kallas avbildningsmatris till F och y=Ax kallas matrisrepresentationen av sambandet v=F(u) om u och v har koordinatvektorerna x och y i en given bas.

Det är viktigt att skilja på avbildningen som är oberoende av valet av bas och avbildningsmatrisen som är helt beroende av basen (eller koordinatsystemet) man uttrycker den i.

På samma sätt måste du skilja på en vektor (basoberoende) och dess koordinater (som är kopplad till en bestämd bas).

Vad ni gick igenom på föreläsningen verkar vara hur man kan uttrycka sambandet Y=AX i en ny bas. Avbildningsmatrisen A får då ett annat utseende $A'=Q^{-1}AQ$ men den står fortfarande för samma avbildning. Uttrycket blir alltså

$Y'=A'X'$

Där $Y'=Q^{-1}Y$ och $X'=Q^{-1}X$

Förmodligen kommer nästa steg i din kurs vara att studera hur man analysera en godtycklig avbildning genom att skriva om den i någon smart bas som gör den särskilt enkel. Att hitta smarta baser som gör avbildningsmatrisen särskilt enkel gör man t.ex. genom att studera avbildningsmatrisens egenvärden och egenvektorer. Man kan säga att det är först då linjär algebra börjar bli spännande och intressant på riktigt! (och nej, jag har inte betalt av din lärare för att hypa nästa kursmoment)

Apropå babybytesmatriser, jag tänker mig såhär?

Babybytesmatris in progress, don't drop the baby.

Detta kombo mellan svårt (men mycket pedagogisk skriven!!) text och flygande bebisar har courtcircuitérat mitt stackars hjärna! Jag vill gärna förstå men nu skrattar jag för mycket för det!

Svara