Basbyten 9.7

e₁, e₂, e₃ är positivt orienterade om e₁•(e₂$\times$e₃) > 0.

Kan man inte se det direkt beroende på i vilken ordning kryssprodukten tas?

Jo, om du definierar e₂ på det sätt som du gör så blir orienteringen automatiskt positiv.

e₁•(e₂ x e₃) = e₂•(e₃ x e₁) = e₂•e₂ = 1 > 0.

Hur kommer du från led 1 till 2?

Den skalära trippelprodukten byter tecken om du byter plats på två av vektorerna i produkten. Byt först plats på e₁ och e₂ (ett teckenbyte) och byt sedan plats på e₁ och e₃ (ytterligare ett teckenbyte som tar ut det första teckenbytet).

Ok. Men varför måste de vara positivt orienterade från början? Jag förstår att anledningen till basbytet är att det ska bli enkelt att uttrycka avbildningsmatrisen, men är positiv orientering ett krav för detta?

Det behöver de inte vara. Med positiv orientering så gäller det för rotationen R i problemet att

R(e₁) = e₂, R(e₂) = -e₁, R(e₃) = e₃.

Med negativ orientering så får du 

R(e₁) =-e₂, R(e₂) = e₁, R(e₃) = e_3.

Tillägg: 5 dec 2024 21:09

Nedan ser du ett lösningsförslag från nätet. Hans vektor e2 är negativ av min, men han gör samma som jag därefter. Borde inte jag få fel då?

Om jag ritar upp mina vektorer (dock ganska slarvigt) känns det som att mina är negativa och hans positiva. 

Hm, jag tror faktiskt att e₃ x e₂ = $\frac{1}{3\sqrt{2}}$(1, -1, -4). Dubbelkolla om du inte räknat fel där.

Stämmer!