Basbytematris (jag fattar IN.GEN.TING)

Man får inte skriva hjääääääÄÄÄÄääälp pluggakuten i rubrik, men ibland är det nästan oundvikbar.

Jag fattar absolut inget i detta exemplet:

1. det är nog en definition fråga, att en matris är en ON-bas om

$\vec{u_{i}} ∙ \vec{u_{i}} = 1 \vec{u_{i}} ∙ \vec{u_{j}} = 0$

men det är inte det de gör??

2. vad är grejen med transponat? Är det inte $A A^{- 1} = E$ ??

3. vad händer här överhuvudtaket?? Hur gör man en skalärprodukt mellan en trigonometrisk funktion och en tal? Hur $\overset{⇀}{v_{1}} ∙ \vec{u_{1}} = \cos α + 2 \sin α$ (osv)?

Hej!

Vektorerna i mängden $\{v_1, v_2\}$ bildar en ortonormerad bas i planet precis då matrisen $A$ är ortogonal, där vektorerna $v_1$ och $v_2$ är kolonnerna hos $2\times2$ -matrisen $A$ .

En matris $M$ är ortogonal precis då dess invers är lika med dess transponat,

$M^{-1} = M^t$ .

Albiki

Det är så många nya räkneoperationer.... Tack Albiki!

Albiki skrev :
Hej!
Vektorerna i mängden $\{v_1, v_2\}$ bildar en ortonormerad bas i planet precis då matrisen $A$ är ortogonal, där vektorerna $v_1$ och $v_2$ är kolonnerna hos $2\times2$ -matrisen $A$ .
En matris $M$ är ortogonal precis då dess invers är lika med dess transponat,
$M^{-1} = M^t$ .
Albiki

Hej!

Nu har jag verifierat för att komma ihåg det.

Om:

$A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) A^{- 1} = \frac{1}{d e t A} (\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix})$

$A = (\begin{matrix} \cos α & - \sin α \\ \sin α & \cos α \end{matrix}) |\begin{matrix} \cos α & - \sin α \\ \sin α & \cos α \end{matrix}| = \cos^{2} α - (- \sin α \cdot \sin α) = 1 A^{- 1} = (\begin{matrix} \cos α & \sin α \\ - \sin α & \cos α \end{matrix})$

Som mycket riktigt är lika med $A^{T} = (\begin{matrix} \cos α & \sin α \\ - \sin α & \cos α \end{matrix})$

Jag har också verifierat att $A$ fyllde villkor:

$u_{1} ∙ u_{1} = u_{2} ∙ u_{2} = 1 u_{1} ∙ u_{2} = 0$

$A = (\begin{matrix} \cos α & - \sin α \\ \sin α & \cos α \end{matrix}) u_{1} ∙ u_{1} = \cos α \cos α + \sin α \sin α = 1 u_{2} ∙ u_{2} = (\cos κ) (- \sin α) + \sin α \cos α = 0$

Nu ska jag försöka lösa det på samma sätt än andra uppgiften du hjälpte mig med:

$v_{k} = \frac{v_{k} ∙ u_{1}}{{|u_{1}|}^{2}} + \frac{v_{k} ∙ u_{2}}{{|u_{2}|}^{2}}$

Vi beräknar $u_{1},u_{2}$ längden:

${|u_{1}|}^{2} = 1^{2} + 2^{2} = 5 {|u_{2}|}^{2} = 2^{2} + (- 1)^{2} = 5$

Vi beräknar skalärprodukter:

$v_{1} ∙ u_{1} = \cos α \cdot 1 + \sin α \cdot 2 = \cos α + 2 \sin α v_{1} ∙ u_{2} = \cos α \cdot 2 + \sin α \cdot - 1 = 2 \cos α - \sin α$

$v_{1} = \frac{v_{1} ∙ u_{1}}{{|u_{1}|}^{2}} u_{1} + \frac{v_{1} ∙ u_{2}}{{|u_{2}|}^{2}} u_{2} = \frac{\cos α + 2 \sin α}{5} u_{1} + \frac{2 \cos α - \sin α}{5} u_{2}$

Vi beräknar den andra skalärprodukt mellan $v_{2}$ och $u_{1},u_{2}$ :

$v_{2} ∙ u_{1} = - \sin α \cdot 1 + \cos α \cdot 2 = 2 \cos α - \sin α v_{1} ∙ u_{2} = - \sin α \cdot 2 + \cos α \cdot - 1 = - \cos α - 2 \sin α$

$v_{2} = \frac{v_{2} ∙ u_{1}}{{|u_{1}|}^{2}} u_{1} + \frac{v_{2} ∙ u_{2}}{{|u_{2}|}^{2}} u_{2} = \frac{2 \cos α - \sin α}{5} u_{1} + \frac{- \cos α - 2 \sin α}{5} u_{2}$

Detta liknar deras resultat förutom att jag har en ytterligare faktor $\frac{1}{5}$ ! Varför blir det så?

Hjälp, den här har jag inte fattat än, och har har prov imorgon!

Jag är lite för oslipad för att hänga med i dina steg, själv skulle jag ta en lite annorlunda väg. Det jag tänker på när det handlar om mappningar/översättningar mellan olika baser är mindre "räkning" och mer vrida och vända på matriser och vektorer. Kolla till exempel Khan Academy's video på change of basis matrix här: https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/alternate-bases/change-of-basis/v/linear-algebra-change-of-basis-matrix

Där ser du hur lösningsförslaget kommer fram till sin B-matris.

Edit: kan vara värt att förtydliga en sak med klippet jag tipsade om: "vektor a uttryckt i bas B" är förstås uttryckt i en av baserna. "B" kallar han det. Den vektor han bara kallar för "a" är uttryckt i en annan bas, men han låter bli att skriva ut det som han gör med "bas B" eftersom det är "den gamla vanliga basen" som a är uttryckt i. Om du jämför med uppgiften här kan du se det som att "vektor a uttryckt i bas B" är uttryckt i din v-bas och "vektor a" är uttryckt i din u-bas, eller tvärtom. Basbytematrisen C i hans video motsvarar matrisen B i lösningsförslaget.

Hur kan det vara så förvirrande? Det är bara två stycken matrisen som vi översätter!

Men men... tack för tipsen!

När handgreppen väl fastnat och man kan dem som rinnande vatten är det säkert inte så förvirrande, men man ska nog inte underskatta risken för att tappa bort sig när man just börjat kolla på basbyten, vektormappning och matrismultiplikation =)

foppa skrev :
Jag är lite för oslipad för att hänga med i dina steg, själv skulle jag ta en lite annorlunda väg. Det jag tänker på när det handlar om mappningar/översättningar mellan olika baser är mindre "räkning" och mer vrida och vända på matriser och vektorer. Kolla till exempel Khan Academy's video på change of basis matrix här: https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/alternate-bases/change-of-basis/v/linear-algebra-change-of-basis-matrix
Där ser du hur lösningsförslaget kommer fram till sin B-matris.
Edit: kan vara värt att förtydliga en sak med klippet jag tipsade om: "vektor a uttryckt i bas B" är förstås uttryckt i en av baserna. "B" kallar han det. Den vektor han bara kallar för "a" är uttryckt i en annan bas, men han låter bli att skriva ut det som han gör med "bas B" eftersom det är "den gamla vanliga basen" som a är uttryckt i. Om du jämför med uppgiften här kan du se det som att "vektor a uttryckt i bas B" är uttryckt i din v-bas och "vektor a" är uttryckt i din u-bas, eller tvärtom. Basbytematrisen C i hans video motsvarar matrisen B i lösningsförslaget.

Ok, det var intressant. Jag visste inte att vi kunde konvertera från 3D till 2D som han gör i slutet. Får man går från 2D till 3D? Nej va, om tredje vektorn saknas vi kan inte helt enkelt hitta på?

Jag tror jag måste knaka några uppgifter... usch hur hinner man och var finns tiden?

Svara

Visa senaste svar