Basbyte ON-baser

Hej, jag skulle behöva hjälp med följande uppgift:

Antag att $(e_1, e_2)$ är en positivt orienterad ON-bas i planet. Inför en ny bas  $(e_1\text{'}, e_2\text{'})$ genom att vrida $e_1$ och $e_2$ vinkeln $\frac{\mathrm{\pi }}{4}$moturs. Bestäm den 2x2-matris S för vilken X' = SX där X och X' är koordinat matriserna för samma vektor i $(e_1, e_2)$ resp. $(e_1\text{'}, e_2\text{'})$.

Jag har kommit fram till $S=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)$, men enligt facit är $S=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$.  

Jag har löst uppgiften på följande sätt:

Vad har jag gjort för fel?

Tacksam för hjälp.