Basbyte med linjära avbildningar

Låt F beteckna spegling i planet 2x + y 2z = . Inför den nya ON-basen

$\{\begin{cases} e_{1}^{'} = \frac{1}{3} (e_{1} + 2 e_{2} - 2 e_{3}) \\ e_{2}^{'} = \frac{1}{3} (- 2 e_{1} + 2 e_{2} + e_{3}) \\ e_{3}^{'} = \frac{1}{3} (2 e_{1} + e_{2} + 2 e_{3}) \end{cases}$

Bestäm matrisen för F i den nya basen.

Okej, jag vet hur jag löser uppgiften, med vanliga sättet, man finner först matrisen i den första basen sen finner man bas bytes matrisen S och beräknar dess invers sen blir $A^{'} = S^{- 1} A S$ .

Men detta sätt dröjer minst en kvart, och i boken står det tips för vissa frågor, tipsen för den uppgiften var följandet

"Ingen räkning behövs, om man observerar att det finns ett samband mellan en av de nya basvektorerna och planets normalriktning"

Och ja, $e_{3}^{'}$ har ju samma koordinater som normalen fast gånger 1/3.

Hur ska jag utnyttja detta för att få en shortcut här?

Spegling innebär ju att det som ligger i normalen till planet multipliceras med -1. Det som ligger i planet är oförändrat.

Det ser ut som om e’₃ är en normal till planet, medan e’₁ och e’₂ är parallella med planet. Hur påverkar en spegling i ett plan en vektor som är normal till planet? Hur påverkar en spegling en vektor som är parallell med planet?

Aha, de vektorerna som är paralella med planet speglas inte så klart, makes sense för att svaret i facit är $[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix}]$ .

Men ska man inte bry sig om 1/3 koefficienten för $e_{3}^{'}$ ?

Nej, för speglingsmatrisen verkar på ON-matrisen.

okej, tack för hjälpen!

Svara

Visa senaste svar