Basbyte

Det finns ju två samband vid basbyten:

E^{^} = S^TE och x = Sx^{^}

(^ tecknet ska va ovanför matriserna som vanligt). Jag har kollat på dessa sambanden hur länge som helst, läste hur de introduceras i boken och sett 3B1B:s video om det, men får ingen intuitiv förståelse om hur de funkar. Kan vi han någon slags diskussion om det här?

Jag har alltså inga problem med att använda dem i uppgifter, jag vill bara ha mer förståelse.

Som ett förtydligande förstår jag den vänstra formeln men inte hur den i allmänhet kan transponeras för att få ett samband mellan koordinater.