Basbyte

Du menar koordinaterna för $e1-e2+3e3$ i basen $\{f1, f2, f3\}$?

Börja med att sätta upp en basbytesmatris, läs t.ex. http://www.linearalgebra.se/pdfs/basbyte.pdf

Om vi har två baser E = $\{{\overrightarrow{e}}_1, {\overrightarrow{e}}_2, {\overrightarrow{e}}_3\}$ och F = $\{{\overrightarrow{f}}_1, {\overrightarrow{f}}_2, {\overrightarrow{f}}_3\}$, så kan varje vektor $\overrightarrow{v}$ skrivas som unika linjärkombinationer av vektorerna i respektive bas. Dvs vi har två unika uppsättningar skalärer ${\epsilon }_i\left(\overrightarrow{v}\right), i=1, 2, 3$, och ${\phi }_i\left(\overrightarrow{v}\right), i=1, 2, 3$, sådana att

$\overrightarrow{v}$ = $\sum _{i=1}^3{ϵ}_i\left(\overrightarrow{v}\right){\overrightarrow{e}}_i$, och

$\overrightarrow{v}$ = $\sum _{i=1}^3{\phi }_i\left(\overrightarrow{v}\right){\overrightarrow{f}}_i$.

Lite notation.

${\left[\overrightarrow{v}\right]}_E$ = $\left[\begin{array}{c}{\epsilon }_1\left(\overrightarrow{v}\right)\\ {\epsilon }_2\left(\overrightarrow{v}\right)\\ {\epsilon }_3\left(\overrightarrow{v}\right)\end{array}\right]$, dvs en kolumnmatris med vektorn $\overrightarrow{v}$:s koordinater relativt basen E.

${\left[\overrightarrow{v}\right]}_F$ = $\left[\begin{array}{c}{\phi }_1\left(\overrightarrow{v}\right)\\ {\phi }_2\left(\overrightarrow{v}\right)\\ {\phi }_3\left(\overrightarrow{v}\right)\end{array}\right]$, dvs en kolumnmatris med vektorn $\overrightarrow{v}$:s koordinater relativt basen F.

$\left(E\right)$ = $\left[\begin{array}{c}{\overrightarrow{e}}_1\\ {\overrightarrow{e}}_2\\ {\overrightarrow{e}}_3\end{array}\right]$

$\left(F\right)$ = $\left[\begin{array}{c}{\overrightarrow{f}}_1\\ {\overrightarrow{f}}_2\\ {\overrightarrow{f}}_3\end{array}\right]$

Det finns nu så kallade basbytesmatriser $P_{E\to F}$ och $P_{F\to E}$ (här 3 x 3 matriser) sådana att följande samband gäller:

${\left[\overrightarrow{v}\right]}_F$ = $P_{E\to F}$${\left[\overrightarrow{v}\right]}_E$

${\left[\overrightarrow{v}\right]}_E$ = $P_{F\to E}$${\left[\overrightarrow{v}\right]}_F$

$\left(F\right)$ = ${\left(P_{F\to E}\right)}^T$$\left(E\right)$

$\left(E\right)$ = ${\left(P_{E\to F}\right)}^T$$\left(F\right)$.

De två basbytesmatriserna är varandras inverser.

Man kan visa att den k:te (k = 1, 2, 3) kolumnen hos $P_{E\to F}$ är lika med ${\left[\overrightarrow{e_k}\right]}_F$ och att den k:te (k = 1, 2, 3) kolumnen hos  $P_{F\to E}$ på motsvarande sätt är lika med ${\left[{\overrightarrow{f}}_k\right]}_E$. 

Jag förutsätter att det som sägs ovan är någorlunda känt sedan tidigare.

I vårt fall ser vi tex direkt från de givna ekvationerna att 

${\left[{\overrightarrow{f}}_1\right]}_E$ = $\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]$, ${\left[{\overrightarrow{f}}_2\right]}_E$ = $\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right]$, och ${\left[{\overrightarrow{f}}_3\right]}_E$ = $\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right]$, så att

$P_{F\to E}$ = $\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right]$.

Enligt ovan har vi om $\overrightarrow{v}$ = ${\overrightarrow{e}}_1-{\overrightarrow{e}}_2+3{\overrightarrow{e}}_3$ att

$P_{F\to E}$${\left[\overrightarrow{v}\right]}_F$ = ${\left[\overrightarrow{v}\right]}_E$ = $\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 3\end{array}\right]$. Det som efterfrågas är ${\left[\overrightarrow{v}\right]}_F$, som vi kan kalla $\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$, och vi får följande ekvationssystem att lösa

$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right]$$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 3\end{array}\right]$.