Bas till bildrum

Två frågor ang. matrisen F=$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 1& -1& 1\end{array}\right]$ som avbildar ${\mathrm{ℝ}}^3\Rightarrow {\mathrm{ℝ}}^2$

a) Varför är bildrummet, Im(F), hela ${\mathrm{ℝ}}^2$.
Jag visar detta genom att radreducera F och visa att rang(F)=2 -> Dim(Im(F))=2

1) Är detta korrekt?
2) Skulle det likaväl kunna visas genom att raderna i F är linjärt oberoende?

Facit visar det genom påståendet att F($e_1$) och F($e_2$) är linjärt oberoende och alltså en bas till ${\mathrm{ℝ}}^2$

b) Bestäm en bas till bildrummet Im(F).
Jag resonerar att då Im(F) = ${\mathrm{ℝ}}^2$ är (1,0) och (0,1) en bas till Im(F).

Är detta korrekt?

I facit skriver de att enl. resonemanget från a) så är F($e_1$) och F($e_2$) en bas för Im(F).

Känner att jag inte helt intuitivt hänger med på hur facit resonerar och skulle därför vilja få lite feedback på min lösning i förhållande till facit.

Uppgiften med facit finns här.