Bas och dimension: Linjär algebra

Något har gått lite galet med gasningen, det är tänkt att du ska få 0:or på de två sista raderna och pivotelement på de 3 första.

Kontrollera dina räkningar.

När det är klart konstaterar vi att dim(W)=3, att $v1\dots v_3$ utgör en bas för W och att $v_4$utgör ett sk löjligt (överflödigt) baselement.

Jroth skrev:

Något har gått lite galet med gasningen, det är tänkt att du ska få 0:or på de två sista raderna och pivotelement på de 3 första.

Kontrollera dina räkningar.

När det är klart konstaterar vi att dim(W)=3, att $v1\dots v_3$ utgör en bas för W och att $v_4$utgör ett sk löjligt (överflödigt) baselement.

Tack för din feedback! Jag kontrollerar mina räkningar direkt, men visst stämmer den första matrisen? Att jag sätter vektorerna som kolonner ?

Hej igen, Jag räknade om och fick följande:

Där ser jag nu att dimensionen är lika med 3 men återigen behöver jag hjälp med hur man ska tolka basen.

Jroth skrev tidigare att v1,..,v3 skulle vara baser men syftar det då på de nya vektorerna i ovanstående matris, det vill säga (1,1,3,0) , (0,-3,0,-1) och (0,0,3,-1) eller på de som står i den ursprungliga frågan?

Tack på förhand!

Jag upptäckte själv ett slarvfel på rad 3 där det ska vara (0,0,3,1) och inte negativt ett. Jag färdigställde denna uppgift men behöver nu endast hjälp med att tolka svaret och om min tolkning är korrekt, min uträkning ser ut på följande sätt:

Och har tolkat det som, efter att ha läst i kurslitteraturen, att en möjlig bas för w är v₁=(1,0,0,0,0)^t , v₂=(1,-3,0,0,0)^t och v₃=(3,0,3,0,0)^t. Finns det någon som kan hjälpa mig med om denna tolkning är korrekt? Så att inte en möjlig bas för W ska tolkas som vektorer av raderna istället för kolonner.

Med $W=\mathrm{span}\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_4\}$.

Visar det sig att de tre första vektorerna $\mathbf{v}_1=(1,2,2,1,0)^T, \mathbf{v}_2=(1,0,0,2.-1)^T, \mathbf{v}_3=(3,1,-2,-5,5)^T$ är linjärt oberoende och spänner $W$. De tre vektorerna utgör därför en bas för $W$.

Vidare är det uppenbart att

$\displaystyle \mathbf{v}_4=\frac{1}{3}(2\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_3)$

De basvektorer du föreslår ligger inte ens i $W$?

Edit: lagade trasig mängdbeskrivning till ett span.

Jroth skrev:

Med $W=\{\lambda_1 \mathbf{v}_1+\lambda_2 \mathbf{v}_2+\lambda_3 \mathbf{v}_3+\lambda_4 \mathbf{v}_4\,|\, \lambda_i \in \mathbf{R}, \mathbf{v}_i\in \mathbf{R}^5\}$.

Visar det sig att de tre första vektorerna $\mathbf{v}_1=(1,2,2,1,0)^T, \mathbf{v}_2=(1,0,0,2.-1)^T, \mathbf{v}_3=(3,1,-2,-5,5)^T$ är linjärt oberoende och spänner $W$. De tre vektorerna utgör därför en bas för $W$.

Vidare är det uppenbart att

$\displaystyle \mathbf{v}_4=\frac{1}{3}(2\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_3)$

De basvektorer du föreslår ligger inte ens i $W$?

Okej tack för förtydligandet.

Det jag har läst via exempeluppgifter är att ”raderna som är skilda från noll bildar då en bas” och det var från detta jag valde de (felaktiga) vektorerna. Är min matris felaktig då eller har jag tolkat texten fel? Eftersom att de tre vektorerna jag tog fram inte ligger i W?

Kan bifoga det exemplet om det skulle vara till någon nytta?

Hej Lund,

Du vill undersöka om de fyra vektorerna $v_1$, $v_2$, $v_3$ samt $v_4$ är linjärt oberoende. Det betyder att du studerar linjärkombinationen

    $c_1v_1+c_2v_2+c_3v_3+c_4v_4=0$ (där $0$ betecknar nollvektorn i $\mathbb{R}^5$).

Om den enda möjligheten är att talen $c_1$, $c_2$, $c_3$ samt $c_4$ är noll så är de fyra vektorerna linjärt oberoende och bildar då en bas för delrummet $W$. Linjärkombinationen motsvaras av ett linjärt ekvationssystem där de obekanta variablerna är c-koefficienterna. 

    $\begin{pmatrix}1&1&3&0\\2&0&1&1\\2&0&-2&2\\1&2&-5&3\\0&-1&5&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_1\\c_2\\c_3\\c_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}$

Detta system är radekvivalent med följande system.

    $\begin{pmatrix}1&0&0&\frac{2}{3}\\0&1&0&\frac{1}{3}\\0&0&1&-\frac{1}{3}\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_1\\c_2\\c_3\\c_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}.$

Här framgår det att $c_1$, $c_2$ och $c_3$ kan uttryckas med $c_4$ vilket indikerar att vektorerna $v_1$, $v_2$ och $v_3$ är linjärt oberoende och därför bildar en bas för delrummet $W.$

lund skrev:

Det jag har läst via exempeluppgifter är att ”raderna som är skilda från noll bildar då en bas” och det var från detta jag valde de (felaktiga) vektorerna. Är min matris felaktig då eller har jag tolkat texten fel? Eftersom att de tre vektorerna jag tog fram inte ligger i W?

De kolonner som uppbär pivotelementen i en trappstegsmatrisen $A^{'}$ bildar bas för $\mathrm{Col}(A^{'})$, det är inte samma sak som det eftersökta $\mathrm{Col}(A)$

När du gausseliminerar $A$ löser du i princip ekvationssystemet

$A\mathbf{\lambda}=\mathbf{0}$

Genom en följd av elementära radoperationer(Gausselimination) erhåller du det radekvivalenta

$A^{'}\mathbf{\lambda}=\mathbf{0}$

Om $A_j$ är kolonnerna i $A$ och $A^{'}_j$ är kolonnerna i $A^{'}$ måste

$\lambda_1A_1+\dots+\lambda_nA_n=\mathbf{0}\,\iff\, \lambda_1A^{'}_1\dots+\lambda_nA^{'}_n=\mathbf{0}$

Alltså bevaras linjära samband mellan kolonnerna vid elementära radoperationer.

Om vissa av kolonnerna i $A^{'}$ är linjärt oberoende så måste motsvarande kolonner i $A$ vara linjärt oberoende (och omvänt).

Om en viss kolonn $A^{'}_i$ är en linjärkombination av vissa andra kolonner  $A^{'}_j\dots A^{'}_k$ så gäller detsamma för motsvarande kolonner i $A$ (och omvänt).

I det här fallet har du konstaterat att antalet pivotelement efter fullbordad Gauss-elimination är 3 samt att kolonnerna $A^{'}_1, A^{'}_2, A^{'}_3$ är linjärt oberoende. Det innebär att kolonnerna $A_1, A_2, A_3$ i den ursprungliga matrisen är linjärt oberoende och utgör en bas för $W$, 

Notera att det är de 3 ursprungliga kolonnerna (dvs, $\mathbf{v}_1\dots \mathbf{v}_3$) som utgör bas. Du är intresserad av $\mathrm{Col}(A)$ INTE $\mathrm{Col}(A^{'})$

----------------------------------------------------------------------------------------

Du får gärna visa exempel på vad du menar, men jag misstänker att du studerat ett exempel med radrum (där de reducerade raderna i den gaussade matrisen kan användas som radbas för den ogaussade matrisen).

Slutligen, vad har determinanten med något att göra? Och några slarvfel:

Tack för ert tålamod!

uppgiften jag utgick ifrån när jag gjorde denna uppgift från början var följande:

Men som Jroth säger så är detta troligtvis ett exempel för radrum. Jag gjorde om hela mina uppgift och fick tillslut samma matris som Albiki. Jag konstaterade därifrån att 1/3(-2v1-v2+v3)+v4=nollmatrisen vilket ger oss uttrycket för v4=1/2(2v1+v2-v3) och bevisar att v1, v2 samt v3 är linjärt oberoende och därav basen för W. Dimensionen är densamma dim(w)=3 då det är tre rader skilda från noll.

Jag uppskattar verkligen er hjälp med att få mig att förstå detta - det blev lite av en utmaning nu när studierna övergick till endast distans.

Tack!