bas med okänd koordinat

Hej, jag har suttit fast på en uppgift ett tag och skulle behöva lite hjälp med att förstå. Uppgiften lyder "Bestäm alla värden på talet a sådana att de tre vektorerna u=(-1,2,3), v=(1,-4,-1) och w=(-2,0,a) utgör en bas för $R^3$."

Jag har kollat för vilka tal på a som vektorerna blir en linjärkombination, dvs linjärt beroende, och får då a=5 om $v={\lambda }_{1}u +{\lambda }_{2}w$ samt a=10 om $u={\lambda }_{1}v +{\lambda }_{2}w$.

I facit står det att de utgör en bas för alla a$\ne 10$. Min första fråga är alltså varför a$\ne 5$ inte tas med.

 Jag satte in a=5 och a=10 i ett homogent ekvationssystem för att se om någon av dessa gav den triviala lösningen (och därmed är linjärt oberoende), men härifrån har jag svårt att tolka mina gaussade ekvationssystem. Jag infogar bild på min uträkning nedan. Förmodligen är det jag som tänker fel men om $s_1$och $s_2$ är lika med noll måste väl $s_3$ också vara det? Oavsett går det att få ut samtliga termer så att de står själva i en rad och är lika med 0.

På något sätt har jag fått ut att både a=5 och a=10 ger $s_1=s_2=s_3=0$ vilket inte kan stämma. Ser någon vad jag gör fel?

Tack på förhand