5 svar
66 visningar
Jocke011 276 – Fd. Medlem
Postad: 16 feb 2019 17:40

Bas för en topologi

Hej

jag har en uppgift som jag inte förstår hur man ska lösa och behöver därför lite hjälp.

Uppgiften är:

Låta,b vara någon punkt på skivan D=x,y:x2+y2<1. Sätt r=a2+b2. Låt a,b vara den öppna rektangeln med vertex i punkterna a±1-r8,b±1-r8

Verifiera att a,bD och använd sedan detta för att visa att D=a,bDa,b

I svaret till uppgiften såg jag att man började med att sätta minx,yS1  x-a2+y-b2=1-r  vertexpunkterna a±1-r8,b±1-r8D därmed har vi a,bD

Vilket är första delen av uppgiften.

Jag förstår inte varför man börjar med att sätta mina,bS1 x-a2+y-b2=1-r

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 16 feb 2019 20:03

Hej!

Låt punkten A=(a,b)A = (a,b) och punkten B=(x,y)B=(x,y) ligga på randen (D\partial D) till DD. Avståndet mellan AA och origo betecknas |A||A|; analog beteckning för BB. Triangelolikheten ger 

    ||A|-|B|||A-B||B|-|A||A-B|||A|-|B|| \leq |A-B| \implies |B|-|A| \leq |A-B|

men |B|=1|B| = 1 och |A|=r|A| = r och |A-B|=(x-a)2+(y-b)2|A-B| = \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2} varför

    1-r(x-a)2+(y-b)21-r \leq \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2};

denna olikhet är uppfylld av samtliga punkter B, vilket visar att 1-r1-r är en nedre begränsning till (x-a)2+(y-b)2\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}. Det följer att 1-r1-r är mindre än eller lika med den största nedre begränsningen till (x-a)2+(y-b)2\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}, det vill säga 

    1-rinf(x,y)D(x-a)2+(y-b)2.1-r \leq \inf_{(x,y) \in \partial D}\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}.

Jocke011 276 – Fd. Medlem
Postad: 17 feb 2019 19:33

okej men hur vet man att B=1 och A=r ? sen förstår jag inte riktigt hur vi vet att 1-r är mindre eller lika med den största nedre begränsningen.

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 17 feb 2019 21:06 Redigerad: 17 feb 2019 21:07
Jocke011 skrev:

okej men hur vet man att B=1 och A=r ? sen förstår jag inte riktigt hur vi vet att 1-r är mindre eller lika med den största nedre begränsningen.

 Känner du till hur man beräknar avståndet mellan två punkter?

Vad är exempelvis avståndet mellan punkterna (0,0) och (3,4)?

Jocke011 276 – Fd. Medlem
Postad: 17 feb 2019 21:13

ja då sätter man ju d=x2-x12+y2-y12=32+42=25=5

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 17 feb 2019 21:25 Redigerad: 17 feb 2019 21:25
Jocke011 skrev:

ja då sätter man ju d=x2-x12+y2-y12=32+42=25=5

Avståndet mellan punkten AA och (0,0)(0,0) är rr; detta har du skrivit.

Avståndet mellan punkten BB och (0,0)(0,0) är 11; även detta har du skrivit när du skrev att (x,y)S1(x,y)\in S_1; i geometriska sammanhang brukar S1S_1 beteckna enhetscirkeln.

Svara
Close