Bas för egenrum(?) Linjär Algebra

För att beräkna egenvärden så gör jag:

$A = [\begin{matrix} 4 & 3 \\ 0 & - 2 \end{matrix}] d e t (λ I - A) = 0 \Leftrightarrow |\begin{matrix} λ - 4 & - 3 \\ 0 & λ + 2 \end{matrix}| = 0$

Av det får jag ut, enkelt, att egenvärdena är 4 och -2.

För att lösa ut basen för egenrummen (heter det så? Eigenspaces i min bok) så sätter jag följande:

$λ = 4 \Rightarrow [\begin{matrix} 0 & - 3 \\ 0 & 6 \end{matrix}] ~ [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}]$

Då får jag att $[\begin{matrix} 0 x_{1} + x_{2} \\ 0 x_{1} + 0 x_{2} \end{matrix}]$

Vilket borde kunna skrivas om till $\{[\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}]\}$

Känns det rätt?

När jag gör samma sätt på det andra egenvärdet (hoppar över lite uträkningar)

Så får jag

$[\begin{matrix} - 6 & - 3 \\ 0 & 0 \end{matrix}] = 0 ~ [\begin{matrix} 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 \end{matrix}] = 0 x_{2} = t x_{1} = - \frac{1}{2} t D å b o r d e b a s e n v a r a : t [\begin{matrix} - 1 \\ 2 \end{matrix}]$

Men enligt facit säger de att basen är (x1, x2) = (1, -2)

Hur får man det att bli det?

Om du sätter $x_{1} = t$ istället så får du exakt samma svar som i facit, men ditt svar är lika rätt. Du kan multiplicera en egenvektor med en godtycklig nollskild konstant så får du en annan egenvektor med samma egenvärde. I det här fallet är det konstanten -1 som skiljer ditt svar från facits.

Parametern t ska inte ingå i basen, bara vektorn. Sen finns det pga ovanstående flera baser, så det är mer rätt att säga att en bas för egenrummet med egenvärde 4 är ... osv (istället för att säga att basen för egenrummet är, det antyder att det bara finns en bas).

Tack! :) Jo, att det finns fler baser är ganska logiskt då det finns fler egenvärden. Om det bara finns ett egenvärde så är det väl rätt att säga att basen för egenrummet är ... ?

Även när det bara finns ett egenvärde så finns det fler baser. Du kan välja att multiplicera basvektorn med en godtycklig nollskild konstant för att få en annan bas. Lite roligare blir det om egenrummet har dimension större än ett då kan du välja andra linjärkombinationer (t ex en rotation) av vektorerna i en bas för att få en annan bas.

Hur blir det en annan bas?

Om man har att basvektorn är som i exemplet ovan: $\{[\begin{matrix} - 1 \\ 2 \end{matrix}]\}$ , är inte det per definition mängden av alla vektorer som kan skrivas av vektorn $[\begin{matrix} - 1 \\ 2 \end{matrix}]$ , dvs, $C * [\begin{matrix} - 1 \\ 2 \end{matrix}], C \in ℝ, C \neq 0$

Det är olika baser eftersom de innehåller olika basvektorer, men rummet som basen spänner upp (egenrummet) är förstås detsamma.

Dvs ena basen är

$\{[\begin{matrix} - 1 \\ 2 \end{matrix}] \begin{array}{r} \end{array}\}$

andra basen är

$\{[\begin{matrix} 1 \\ - 2 \end{matrix}] \begin{array}{r} \end{array}\}$

Det är inte samma bas eftersom mängderna inte innehåller samma vektor.

Ok, nu är jag med, tror jag! :)

Tack igen!

Svara

Visa senaste svar