Banach fixpunktsats

Sats. Varje kontraktionsavbildning på ett icke-tomt fullständigt metriskt rum har en unik fixpunkt.

Bevis. Låt $T : X \to X$ vara en kontraktionsavbildning på det icke-tomma fullständiga metriska rummet $(X,d)$. Välj ett godtyckligt element $x_0\in X$ och använd detta för att tillsammans med $T$ konstruera en följd $(x_n) \in X$ enligt

    $x_n = T(x_{n-1})\ , \quad n\geq 1.$

På grund av att $T$ är en kontraktionsavbildning följer det att $(x_n)$ är en Cauchyföljd och på grund av att $X$ är fullständigt metriskt rum följer det att $(x_n)$ konvergerar mot ett element $x \in X$. Eftersom kontraktionsavbildningar är kontinuerliga följer det att $x$ är en fixpunkt till $T$. Då kontraktionsavbildningar inte kan ha fler än en fixpunkt följer det att $x$ är den unika fixpunkten till $T$.