Balkong

Du ska välja profil/dimension på balken så att den inte böjs mer än 16 mm längst från väggen. Ett annat krav är att du ska välja så att maximal böjspänning inte överskrider vad balken tål. Det är alltså 2 villkor som du måste kolla.

1. Nedböjningen: Det är kanske lätt att förstå att maximal nedböjning kommer att vara längst ut ifrån väggen. I figuren ser du att de kallar nedböjningen där för f. Dessutom ser du hur du kan beräkna detta f. För att kunna göra det så behöver du några material- och "profil"-konstanter, E resp. I.  Det kan man också förstå, tror jag. Kokt spaghetti kommer att böja sig mer än en ståltråd av samma dimension och vid samma beslastning. Det är materialkonstanten E som skiljer spaghettin från stålet. En planka på högkant kommer att böja sig mindre än samma planka "liggande". Det är konstanten I som skiljer en liggande planka från en på högkant. Materialet SS 1412 kommer att ge dig E och profilen "U-stång på högkant" kommer att ge dig I (även om jag inte tycker att "u-stång på högkant" är så tydligt...).

2. Max böjspänning: Här kan man kanske också förstå att det blir störst påfrestning vid infästningen i väggen. Väggen måste hålla emot all vikt på balkongen. Det blir ett böjande moment (vridmoment) vid infästningen. Det är där som lasten q har den längsta hävarmen. I bilden har de redan markerat att M_max finns just där. Du ser också hur man beräknar M_max, som är det maximala böjmomentet som materialet måste klara. Här är det intressant att notera att böjspänningen bara beror på balkonggeometrin och inte på materialet eller balkprofilen.  Du ska alltså välja en profil som klarar av att hålla emot det maximala böjmomentet M_max.

Du ska alltså, i princip, beräkna 2 tal och sedan kolla i material- och profil/tvärsnittstabeller för att hitta hur klen balk som man kan tillåta.

Hur får jag fram I?

Jag har en stång, den är väl inte rund?

I formeln för nedböjning är det bara I som är okänd. Om du då löser ut I och beräknar det så kan du sedan gå in i rätt tabell och läsa av vilken dimension som minst krävs. Du måste alltså välja en balk som har tillräckligt stort I för att nedböjningen ska bli mindre än 16 mm. När valet är gjort så vet du att villkoret på nedböjning är uppfyllt. Det kan fortfarande vara så att böjspänningen blir för stor för materialet, så det måste också kollas. Böjmotståndet W hittar  du också i tabellen. Sätt in det i ${\sigma }_{böj}=\frac{M_{total}}{W}$. Då har du räknat ut vad den maximala böjspänningen blir i balken. Denna böjspänning får inte överskrida materialets sträckgräns som du hittar i någon tabell (förmodligen i samma tabell som du hittar E, eftersom det är en materialegenskap).

Det står att det är en u-balk av stål SS 1412. Det är alltså tabell 2 i din bild som gäller. Du får fundera på om du ska använda I_x eller I_y.

När jag kollar noga på uppgiften så ser jag att det verkar finnas en punktlast i änden på balkongen också. Den behöver du ta med i beräkningarna också. D.v.s. det totala maximala momentet M_total = M_max-q+M_punktlast, där M_max-q är M_max som kommer av den utbredda lasten Q, enligt formel i din första bild.

Dessutom bör man ha någon säkerhetsmarginal till de gränser som du har räknat ut/hittat i tabeller.

Så jag har listat ut I, men undrar vilken enhet den blir, samt hur jag ska titta i tabellen då jag måste "enhetsanpassa" för att hitta rätt värde. Hur gör man det?

Edit: inser nu att det kanske borde varit Q= 1*10³ i lösningen?

Om vi börjar att titta på nedböjningen. Vi har en utbredd last Q=2 kN och vi har en punktlast P=1 kN.

Nedböjningen orsakad av Q blir:

$f_Q=\frac{Q{L}^3}{8EI}$

Nedböjningen orsakad av P blir:

$f_P=\frac{P{L}^3}{3EI}$, om man ska tro Wikipedia.

$f_{tot}=f_Q+f_P$

Utifrån det kan du beräkna hur stort I som krävs för att nedböjningen inte ska bli större än 16 mm. Det har du (nästan) gjort. (Du tog inte med punktlasten.) Sen är det, precis som du är inne på, väldigt viktigt med enheterna. Här gäller det att bestämma sig för vad man vill använda. Mitt tips är att använda SI-enheter med prefix ersatta med 10-potenser. Det blir t.ex. fel om man använder mm för hävarm och sedan Pa (=N/m²) för E (om man inte har tur så att felen tar ut varandra i någon division eller så).

Du ser att I är tabellerat i enheten cm⁴. Det beror troligen på att talen blir "lagom stora" och enkla att tabellera. Om du använder enheterna N, m och Pa när du räknar ut I så får I enheten m⁴. Det ser du om du gör en dimensionsanalys av t.ex.:

$I=\frac{Q{L}^3}{8Ef}$

$\left[I\right]=\left[\frac{Q{L}^3}{8Ef}\right]=\frac{N{m}^3}{Pa·m}=\frac{N{m}^2}{Pa}=\frac{N{m}^2·m^2}{N}=m^4$

Du behöver då göra om m⁴ till cm⁴, precis som du säger. Du vet hur man gör om m till cm. Du vet nog också hur man gör om m² till cm² och m³ till cm³. Då ser du säkert ett mönster som hjälper dig att göra om m⁴ till cm⁴.

När jag googlar på elasticitetsmodulen, E, för stål så får jag värden på ca 200 GPa (inte 15 GPa som du verkar ha).

Är det rätt hittills?

Aha, visste inte att det var stål (trodde det var trä). Stål enligt min lärare är 210000 MPa. 

Det är ganska bra men ett par saker bara. Punktlasten böjer ned balkongen. Det gör även den utbredda lasten.

$$\begin{gathered} f_{tot}=f_Q+f_P=\frac{Q{L}^3}{8EI}+\frac{P{L}^3}{3EI} \\ \iff \\ I=\frac{Q{L}^3}{8E{f}_{tot}}+\frac{P{L}^3}{3E{f}_{tot}} \end{gathered}$$

Det är alltså samma I i bägge nedböjningsformler. I beror på hur balken ser ut (som jag skrev i mitt första inlägg) och den är ju densamma för bägge nedböjningar. Sätt in värden så får du ett I som skulle ge maximal tillåten nedböjning. Då ska du välja en balk som är grövre så att nedböjningen inte överskrider gränsen. Jag får $I=4,68·{10}^{-6} m^4$. Var noga med enheterna på värdena som du sätter in. Glöm inga 10-potenser.

Ja, uppgiften förutsätter att man vet att SS 1412 är stål. "U-stänger på högkant" borde också föra tankarna mot något annat än trä.

Har inte jag fått samma I som dig bara att jag har angett i mm4. 

Oj, ser nu att jag skulle ha tagit. 4687500/10⁴=468,75 cm₄  (råkade skriva gånger 10⁴)

Frågan är om det är Ix eller Iy. Jag antar att det är Ix.

(Facit får fram dimension 180)

Snyggt! Nu har du dimensionerat med avseende på nedböjningen. Som jag skrev tidigare (och som det står i uppgiften) så skulle det kunna vara så att böjspänningen blir för stor för materialet så det behöver kontrolleras också (med maxmoment och W).

När det gäller I_x eller I_y så är det lite bökigt tycker jag. Det finns inget facit på prov eller i verkligheten heller för den delen, så en annan metod än att kolla där behövs. Det finns x- och y-axlar utritade i figuren men man måste även veta vad som menas med att böja kring x och böja kring y, eller om man kanske måste veta hur momentaxel definieras. Sånt där har jag svårt att komma ihåg. Jag tänker istället så här (men man måste ha lite tur om det ska funka): Jag tittar på balkens tvärsnitt och funderar över om den är uppenbart stabilare på ena eller andra hållet (typ en liggande planka eller på högkant). I det här fallet är det ganska uppenbart att balken böjs minst om den används på det håll som den är ritad i tabellen (typ planka på högkant). Då vet jag att det högsta I gäller för böjning åt det hållet. I uppgiften står det "U-stänger på högkant". Det kan man ju tolka som att de används som de är ritade i tabellen.

Spänning= M (moment)/W

Men eftersom jag räknar på både punktlast och utbred last, hur ska jag då räkna på den?

Det är rätt formel. Du har hittat en balk som kanske funkar. I tabellen ser du vilket W just den balken har. På samma sätt som att f_tot=f_Q+f_P så blir M_tot=M_max-Q+M_P. M_max-Q har du redan räknat ut (jag har inte kollat om det var rätt med enheter och potenser...). M_P är helt enkelt det vridmoment som P har med avseende på infästningen, "hävstångslagen".

Ix är 353 och Wx blir 58,9 (markerat med rött)? Måste nog ändra om cm₃ till mm_3?

Ja, enheterna måste stämma. Jag hade gjort om det till m³. Men det viktiga är att de stämmer med enheten på ditt moment. Har du Nm där så måste du göra om W till m³. Har du momentet i Nmm så måste du göra om W till mm³. Har du momentet i Ncm så kan du använda tabellvärdet rakt av.

Hur går man från mm4 till mm3?

Jag förstår inte. Vad vill du göra?

Ska jag inte hitta ett Wx i tabellen och den är 58,9 cm_3,därför borde jag skriva om det till mm₄ som jag haft tidigare för att ha samma enhet?

Du vill använda formeln:

$\sigma =\frac{M}{W}$, där $\sigma$ är böjspänning. Mekanisk spänning mäts i N/m². Momentet M mäts i Nm. Dimensionen (=enheten) av W blir då:

$\left[W\right]=\left[\frac{M}{\sigma }\right]=\frac{Nm}{N/m^2}=m^3$

D.v.s. W har enheten m³ precis som i tabellen (fast där är det cm³) och allt blir som det ska bli, när du sätter in värdena i formeln. Det finns inget att göra om. Du kommer att ha nytta av att göra sådana här dimensionsanalyser. Det är bra att lära sig.

Visst är det Wx jag ska leta i tabellen?

Känns inte rimligt, kan ha gjort något slarvfel

Jag tror jag lyckades lösa uppgiften. Min nedböjning f blev ju 16 mm precis som fmax fick vara. 

Edit: w=58,9*10³. Annars borde det stämma

Du behöver vara noggrannare med enheterna. Jag skulle säga att det mest är tur att kommatecknet hamnar på rätt ställe här:

I täljaren har du satt 1000 N, 2000 N och 3000 mm. Enheten för täljaren är alltså Nmm³. I nämnaren har du satt in 16 mm och 210000 MPa (MN/m²) vilket ger enheten MNmm/m². Du har alltså blandat m² och mm. Av, mer eller mindre, en slump, råkar ditt mega i MPa kancellera ditt enhetsfel eftersom det går 10⁶ mm² på 1 m².

Bortsett från räknefelen (som råkade ta ut varandra) så ska du sen hitta en tillräckligt grov balk i tabellen.

Här hänger jag inte med:

Du har redan dimensionerat med avseende på nedböjningen. Om du väljer en tillräckligt grov balk (en som har tillräckligt stort I) så böjer den inte sig mer än de 16 mm som du räknade på innan. Du ska alltså nu kolla så att böjspänningen inte blir för stor. Böjspänning är inte samma sak som utböjning eller nedböjning. Nedböjningen mäts i m, här var gränsen 0,016 m. Böjspänningen är den påfrestning inuti materialet som bildas av deformationen, alltså nedböjningen i det här fallet. Böjspänningen är kraft per area, där arean är balkens tvärsnittsarea. Enheten är alltså N/m².

Vi tar ett exempel: Du ska konstruera något med spaghettistrån (okokta). För att det som du ska bygga ska fungera så kan du inte tillåta en större nedböjning än 1 cm. Nu kan det vara så att 1 cm nedböjning är för mycket för ditt spaghettistrå. Det kanske går sönder om du böjer det så mycket (det beror på materialet, E, längden L och på tvärsnittet I). När ett strå går sönder så har böjspänningen passerat brottgränsen för materialet. Notera att brottgränsen är en materialkonstant precis som E. Den beror alltså inte på tvärsnittets utseende eller area etc.

I balkongfallet så ska du nu kolla om din "balkkandidat" kommer att gå sönder (eller snarare så dimensoinerar man med avseende på sträckgränsen och inte brottgränsen). Du ska kolla hur stor böjspänningen blir och sedan jämföra med materialets sträckgräns. Eventuellt så ska ni ta med en säkerhetsfaktor också. Jag får nämligen inte samma balk som facit.

Om vi återgår till dina beräkningar. Här ser det ut som att du vill använda en formel för att beräkna maxspänningen, ${\sigma }_{max}$:

Det är rätt formel att använda nu! Maxspänningen är en spänning, alltså kraft per area som jag beskrev ovan. Den har alltså enheten N/m². I tabellen ser du att W har enheten m³ (eller cm³), inte Nmm² som du sätter in i formeln.

Du skriver att W=58,9. Hur kommer du fram till det? Det ser ut som en lite för klen balk. Du ser att balkarna blir grövre ju längre ned i tabellen du kommer. Din balk måste ha minst I=470 cm⁴ annars böjer den sig för mycket. Det har du precis räknat ut.

Men det är rätt ansats att beräkna ${\sigma }_{max}$ för din valda balk. Detta tal ska du sedan jämföra med materialkonstanten "sträckgräns" eventuellt med en säkerhetsfaktor som jag sa. Jag har inte hittat någon sträck- (eller brottgränser) i dina bilder men ni har säkert pratat om dem och du kanske har tabeller där du hittar värdena. (Jag googlade för att kontrollera mina beräkningar.)

Sträckgränsen är 260 MPa men om jag testar andra balkar längre ned med större dimensioner så blir spänningen såklart mindre. 

Du skrev att jag skulle jämföra sträckgräns och spänningen.

Utmärkt! Jag är imponerad av din envishet att sitta så länge med uppgiften. Bra jobbat!

Du har visat att USP120 räcker. Jag vet inte varför facit säger 180. Antingen har vi (jag får samma som du) missat något eller räknar de med någon säkerhetsfaktor som jag nämnde innan men inte ens med en faktor 3 på sträckgränsen hamnar jag på 180-dimensionen. Med säkerhetsfaktor menar jag att man dimensionerar med avseende på t.ex. en tredjedel av sträckgränsen i stället för på hela.

Tack, försöker bara lära mig även om det går lite trögt :)

Jag hittade en gammal uppgifte (första bilden ovan) som är väldigt lik bilden under den. På första bilden så vet vi att balken är U-180. 

Jag försöker tänka baklänges och se hur de fick de siffror de fick men det hjälpte inte.

Tack för allt hjälp. Det visade sig att det var Usp 120, min lärare hade skrivit fel.