Bakterieodling

Din bild är suddig igen.

Står det inte 4*t?

Står det inte 4+t?

Det tror jag inte.

Det vore konstigt om det stod $10+4+t+t^2$.

Då borde det väl istället stå $14+t+t^2$.

Hur kommer det sig att dina bilder så ofta är suddiga?

Det är något fel med min dator. 
v(t)=10+4t+t^2

v’(t)=4+2t 

v’(1)=4+2=6 (det ökade med 6 bakterier då det gått 1 timme). 
—

integralen ger ökningen av antal bakterier/timme

Dina uträkningar stämmer, men dina tolkningar stämmer inte.

Funktionen $v(t)$ anger ökningen i antalet bakterier per timme vid tidpunkten $t$.

Om vi tittar på tidpunkten $t = 1$ så har vi att $v(1)=10+4\cdot1+1^2=15$.

Det betyder att antalet bakterier ökar med 15 bakterier per timme vid $t=1$.

Eftersom $v(t)$ beskriver en hastighet så beskriver $v'(t)$ hur denna hastighet ändras.

Jämför med din Fysik 1-kurs.

Där har du också en hastighetsfunktion $v(t)$. Om du deriverar den så får du accelerationsfunktionen $a(t)$, eller hur? Dvs där gäller det att $v'(t)=a(t)$, eller hur?

Det är precis samma sak här med bakterierna.

====

Vad gäller b-uppgiften så kan du även där tänka på dina tre funktioner kring rörelse från fysikkursen. Vad fick du fram där när du beräknade arean under hastighetsfunktionen?

Det är precis samma sak här med bakterierna.

Men varför är det fel att säga att antalet bakterier har ökat med 6 st då det gått en timme?

Till att börja med eftersom det inte stämmer.

Funktionen v(t) beskriver inte antalet bakterier vid tiden t utan istället hur snabbt antalet bakterier ökar vid tiden t. Funktionen v(t) är alltså en hastighetsfunktion, på samma sätt som v(t) i din fysikkurs är en hastighetsfunktion.

Vid t = 0 ökar antalet bakterier med v(0) = 10 bakterier per timme.

Eftersom v(t) hela tiden ökar så växer antalet bakterier snabbare och snabbare hela tiden.

Vid t = 1 så ökar antalet bakterier med v(1) = 15 bakterier per timme.

Av det här ser du att det inte kan stämma att antalet baktetoer endast har ökat med 6 på en timme.

=======

Ett annat sätt att förstå det är att titta på enheterna.

Enheten för v(t) är $\frac{bakterieantal}{timme}$.

Eftersom v'(t) är derivatan av v(t) med avseende på t så kommer v'(t) att ha enheten $\frac{\frac{bakterieantal}{timme}}{timme}=\frac{bakterieantal}{timme^2}$.

Det betyder att v'(1) inte kan avse vare sig antalet bakterier eller bakteriernas ökning.

Istället gäller att v'(t) anger ändringen av hastigheten, dvs accelerationen.

Det här är precis som i dina fysikkurser, där accelerationsfunktionen a(t) är derivatan av gmhastighetsfunktionen, a(t) = v'(t).

Om du dessutom kommer ihåg att hastighetsfunktionen v(t) var derivatan av sträckafunktionen, dvs v(t) = s'(t) så får du en ledtråd till b-uppgiften.

Vet ej om jag har gjort rätt i a. Men b förstår jag inte hur jag ska tolka. 

Katarina149 skrev:

Vet ej om jag har gjort rätt i a. Men b förstår jag inte hur jag ska tolka. 

Nej det stämmer inte.

v'(t) anger hur snabbt tillväxthastigheten ändras per timme.

Integralen anger hur många bakterier det finns totalt efter två timmar.

Mina uträkningar är rätt men tolkningar var alltså fel. Har du några tips på hur man ska tänka för att kunna förstå vad det är man räknar står för?

Ja det stämmer.

Varför var mina tolkningar fel?

Jag förstår inte riktigt din fråga om varför dina tolkningar var fel.

Jämför det du skrev med det jag skrev. Ser du att det är skillnad?

Gäller det alltid att v’(t) anger tillväxthastigheten per timme?

Nej, om t anger antalet sekunder så avser t.ex. v'(t) ändringen av v(t) per sekund.

Om t anger antalet år så avser v'(t) ändringen av v(t) per år. 

Okej men att v’(t) anger tillväxthastighet per tidsenhet

Nej, om v(t) anger en hastighet så anger v'(t) ändringen av den hastigheten, dvs accelerationen.

Har du någon tumregel för att kunna skilja på när det ska vara acceleration, tillväxthastighet.etc?

Titta på enheterna eller uppgiftsbeskrivningen.

I det här fallet står det att v(t) avser ökningen i antalet bakterier per timme. Dvs enheten är antal/timme, vilket är en hastighet.