Bageri (Matematik/Matte 5/Kombinatorik)

Tänk på att vissa kombinationer är identiska, då ordningen inte spelar någon roll.

Dr. G skrev :
Tänk på att vissa kombinationer är identiska, då ordningen inte spelar någon roll.

Det tänkte jag också på, men hur vet man att 5^12 tar hänsyn till ordningen? 5^12 är ju varken en permutation eller en kombination ...

5^12 är permutationer med återläggning. Du vill ha kombinationer med återläggning. (Återläggning betyder alltså att man kan välja samma sak flera gånger)

Edit: Det här var kanske inte riktigt rätt. Blev osäker nu

Edit2: Det verkar stämma, när jag använder min metod från KTH får jag samma svar som Smutstvätt, så det stämmer nog :)

Hondel skrev :
5^12 är permutationer med återläggning. Du vill ha kombinationer med återläggning. (Återläggning betyder alltså att man kan välja samma sak flera gånger)

Blir det då "12 över 5" upphöjt till 12?

Kombinatorik skrev :
Hondel skrev :
5^12 är permutationer med återläggning. Du vill ha kombinationer med återläggning. (Återläggning betyder alltså att man kan välja samma sak flera gånger)
Blir det då "12 över 5" upphöjt till 12?

Jag tror det blir 5+12-1 över 12. Alltså 16 över 12

Kolla denna länk

https://www.math.kth.se/matstat/gru/5b1501/V/ma-uo.pdf

Jag skulle tro att det är tänkt att du ska använda dig av avdelare i detta fall. Jag tycker själv att det är krångligt, så jag går igenom det systematiskt så att det inte blir fel. Vi kan köpa hur många sorter av varje bulle som helst, så länge det totala antalet bullar inte över- eller understiger 12 st. Jag utgår ifrån att det är accepterat att ogilla frön och därför köpa noll sesambullar. Ordningen spelar ingen roll, därför kan vi utgå ifrån att vi köper dem i ordningen RR, SS, TT, GG, SSSS. (med variation i antalet av varje sort)

Rent hypotetiskt skulle vi då kunna placera en neutral bulle emellan varje kategori för att avskilja dem. Vi behöver inga på kanterna, så det kommer i sådant fall att gå åt fyra neutrala bullar. Då får vi sexton brödbullar totalt. Frågan är nu hur många sätt dessa kan placeras på. Om vi kallar de neutrala bullarna för N, kan vi skriva en ordning bullar som R R N S S. Om vi flyttar N åt något håll varierar vi också uppsättningen ickeneutrala bullar. Flyttar vi bullen till vänster får vi R N S S S. De neutrala bullarna är alla likadana så det spelar ingen roll om vi placerar dem i "ordningen" (som inte finns. Bra förklaring, Smutstvätt. Mycket bra!) N(1) (...) N(2) eller N(2) (...) N(1). På hur många sätt kan vi då placera ut fyra objekt på sexton platser, om ordningen inte spelar någon roll?

Jo: $(\begin{matrix} 16 \\ 4 \end{matrix}) = 1820$

Kolla om det stämmer med facit. Jag skulle tro att detta är metoden de vill att man ska använda. :)

Smutstvätt skrev :
Jag skulle tro att det är tänkt att du ska använda dig av avdelare i detta fall. Jag tycker själv att det är krångligt, så jag går igenom det systematiskt så att det inte blir fel. Vi kan köpa hur många sorter av varje bulle som helst, så länge det totala antalet bullar inte över- eller understiger 12 st. Jag utgår ifrån att det är accepterat att ogilla frön och därför köpa noll sesambullar. Ordningen spelar ingen roll, därför kan vi utgå ifrån att vi köper dem i ordningen RR, SS, TT, GG, SSSS. (med variation i antalet av varje sort)
Rent hypotetiskt skulle vi då kunna placera en neutral bulle emellan varje kategori för att avskilja dem. Vi behöver inga på kanterna, så det kommer i sådant fall att gå åt fyra neutrala bullar. Då får vi sexton brödbullar totalt. Frågan är nu hur många sätt dessa kan placeras på. Om vi kallar de neutrala bullarna för N, kan vi skriva en ordning bullar som R R N S S. Om vi flyttar N åt något håll varierar vi också uppsättningen ickeneutrala bullar. Flyttar vi bullen till vänster får vi R N S S S. De neutrala bullarna är alla likadana så det spelar ingen roll om vi placerar dem i "ordningen" (som inte finns. Bra förklaring, Smutstvätt. Mycket bra!) N(1) (...) N(2) eller N(2) (...) N(1). På hur många sätt kan vi då placera ut fyra objekt på sexton platser, om ordningen inte spelar någon roll?
Jo: $(\begin{matrix} 16 \\ 4 \end{matrix}) = 1820$
Kolla om det stämmer med facit. Jag skulle tro att detta är metoden de vill att man ska använda. :)

Visst stämmer det både metoden och svaret men det jag däremot inte förstår är varför man inte kan använda sig av formlen "(n + k - 1) över k" enligt länken https://www.math.kth.se/matstat/gru/5b1501/V/ma-uo.pdf ?

Finns det något algebraisk bevis på "(n + k - 1) över k"? I så fall hur får man fram formeln (då den inte finns med i formelbladet)?

Hondel skrev :
Kombinatorik skrev :
Hondel skrev :
5^12 är permutationer med återläggning. Du vill ha kombinationer med återläggning. (Återläggning betyder alltså att man kan välja samma sak flera gånger)
Blir det då "12 över 5" upphöjt till 12?
Jag tror det blir 5+12-1 över 12. Alltså 16 över 12
Kolla denna länk
https://www.math.kth.se/matstat/gru/5b1501/V/ma-uo.pdf

Jag har tittat på länken men jag förstår inte det där med återläggning eller inte eftersom vi inte har gått igenom detta tidigare så förstår jag inte vad n^k står för??

Återläggning betyder att du får välja saker igen. Om du exempelvis ska välja kod till mobilen kan du ju välja 9999, då har du återläggning (ordningen spelar också roll, så därför finns det n^k kombinationer).

Utan återläggning är att man inte kan välja en sak två gånger. Exempelvis hur många sätt kan man ordna en klass med elever. Du kan ju bara ställa en person på en plats, och därför har du inte återläggning. Om då ordningen spelar roll så har du på första platsen n personer att välja, på andra n-1 osv, så antalet kombinationer blir n!/(n-k)!

Jag vill också påpeka att formeln från KTH är i princip densamma som Smutstvätt använder. Svaren blir också desamma eftersom 16 över 4 är samma som 16 över 12. Titta också på beviset som de skriver under, jag har själv inte kombinatorik som min starka sida, men jag tycker metoden ser ut ungefär som Smutstvätts.

Hondel skrev :
Jag vill också påpeka att formeln från KTH är i princip densamma som Smutstvätt använder. Svaren blir också desamma eftersom 16 över 4 är samma som 16 över 12. Titta också på beviset som de skriver under, jag har själv inte kombinatorik som min starka sida, men jag tycker metoden ser ut ungefär som Smutstvätts.

KTH:s motivering är densamma som Smutsvatten men jag förstår inte varför man ska tänka på skiljeväggar och bullar och att skiljeväggarna tar plats och att man ska istället svara på frågan:

"PÅ hur många sätt kan man placera skiljeväggarna om man inte tar hänsyn till ordningen"??

Hondel skrev :
Återläggning betyder att du får välja saker igen. Om du exempelvis ska välja kod till mobilen kan du ju välja 9999, då har du återläggning (ordningen spelar också roll, så därför finns det n^k kombinationer).
Utan återläggning är att man inte kan välja en sak två gånger. Exempelvis hur många sätt kan man ordna en klass med elever. Du kan ju bara ställa en person på en plats, och därför har du inte återläggning. Om då ordningen spelar roll så har du på första platsen n personer att välja, på andra n-1 osv, så antalet kombinationer blir n!/(n-k)!

Menar du en fyrsiffrig kod? I så fall varför blir inte svaret istället 10^4? Vad står n respektive k för i n^k??

n är antalet valmöjligheter, k är antalet val som görs. I en pinkod är n=10 eftersom det finns tio siffror, 0-9, och k=4 eftersom koden består av fyra siffror.

Hondel skrev :

Jag tror det blir 5+12-1 över 12. Alltså 16 över 12
Kolla denna länk
https://www.math.kth.se/matstat/gru/5b1501/V/ma-uo.pdf

Borde inte $n \geq k$ i formeln $(\begin{matrix} n + k - 1 \\ k \end{matrix})$ så hur kommer det sig att n som är de fem brödsorterna är MINDRE ÄN k som är de 12 bröden man ska köpa?

n är 5, k är 12. Smutstvätts bevis är utmärkt - försök förstå det!

Henrik Eriksson skrev :
n är 5, k är 12. Smutstvätts bevis är utmärkt - försök förstå det!

Så vilka villkor har man för n och k i formeln $(\begin{matrix} n + k - 1 \\ k \end{matrix})$ ? Jag trodde att det var exakt samma villkor som i formeln $(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})$ där $n \geq k$ ?

Henrik Eriksson skrev :
n är 5, k är 12. Smutstvätts bevis är utmärkt - försök förstå det!

Beviset är bra. Kanske blir det lättare om man ser bröden framför sig:

oooooooooooo Här är 12 bröd.

Vi delar upp dem i fem grupper med hjälp av fyra avdelare:

oo|o|oooo|o|oooo
Två av första sorten,
en av andra sorten,
fyra av tredje sorten,
en av fjärde sorten,
fyra av femte sorten

||ooooo|ooooooo|
Noll av första sorten,
noll av andra sorten,
fem av tredje sorten,
sju av fjärde sorten,
noll av femte sorten

Den första uppdelningen är ju självklar, och den andra är egentligen inte krångligare.

Ser du nu att vi avdelar genom att välja ut fyra platser av sexton?

Bubo skrev :
Henrik Eriksson skrev :
n är 5, k är 12. Smutstvätts bevis är utmärkt - försök förstå det!
Beviset är bra. Kanske blir det lättare om man ser bröden framför sig:
oooooooooooo Här är 12 bröd.
Vi delar upp dem i fem grupper med hjälp av fyra avdelare:
oo|o|oooo|o|oooo
Två av första sorten,
en av andra sorten,
fyra av tredje sorten,
en av fjärde sorten,
fyra av femte sorten
||ooooo|ooooooo|
Noll av första sorten,
noll av andra sorten,
fem av tredje sorten,
sju av fjärde sorten,
noll av femte sorten
Den första uppdelningen är ju självklar, och den andra är egentligen inte krångligare.
Ser du nu att vi avdelar genom att välja ut fyra platser av sexton?

Jepp, det gör jag (det är härledningen till (n - 1 + k) över k där n är antalet sorter, (n - 1) kan ses som antalet avdelare och k är antalet föremål man ska köpa). Då jag har lättare för formler i allmänhet var jag därför ute efter att förstå villkoren för n och k. Jag tror att det ända villkoret blir att n och k är naturliga tal större än 1 där ingen relation mellan n och k gäller?

Kombinatorik skrev :
Henrik Eriksson skrev :
n är 5, k är 12. Smutstvätts bevis är utmärkt - försök förstå det!
Så vilka villkor har man för n och k i formeln $(\begin{matrix} n + k - 1 \\ k \end{matrix})$ ? Jag trodde att det var exakt samma villkor som i formeln $(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})$ där $n \geq k$ ?

Det finns ju lika många sätt att välja positioner för de fyra avgränsarna (12+5-1) över (4)

...som antal sätt att välja positioner för de tolv bröden (12+5-1) över (12)

så

(12+5-1) över (4) = (12+5-1) över (12) Nej, inte över (4)...

(12+5-1) över (5) = (12+5-1) över (12)

Bubo skrev :
Kombinatorik skrev :
Henrik Eriksson skrev :
n är 5, k är 12. Smutstvätts bevis är utmärkt - försök förstå det!
Så vilka villkor har man för n och k i formeln $(\begin{matrix} n + k - 1 \\ k \end{matrix})$ ? Jag trodde att det var exakt samma villkor som i formeln $(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})$ där $n \geq k$ ?
Det finns ju lika många sätt att välja positioner för de fyra avgränsarna (12+5-1) över (4)
...som antal sätt att välja positioner för de tolv bröden (12+5-1) över (12)

så
(12+5-1) över (4) = (12+5-1) över (12)

Jag tror inte att jag har problem med symmetriegenskapen $(\begin{matrix} n + k - 1 \\ k \end{matrix}) = (\begin{matrix} n + k - 1 \\ n - 1 \end{matrix})$ utan om villkoren för n och k

Jag menade att det är summan n+k som är intressant här, eller rättare sagt n+k-1.

Vilket som är störst av n eller k är ointressant, eftersom det motsvaras av att "titta på avgränsarna" eller "titta på bröden".

Bubo skrev :
Kombinatorik skrev :
Henrik Eriksson skrev :
n är 5, k är 12. Smutstvätts bevis är utmärkt - försök förstå det!
Så vilka villkor har man för n och k i formeln $(\begin{matrix} n + k - 1 \\ k \end{matrix})$ ? Jag trodde att det var exakt samma villkor som i formeln $(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})$ där $n \geq k$ ?
Det finns ju lika många sätt att välja positioner för de fyra avgränsarna    (12+5-1) över (4)
...som antal sätt att välja positioner för de tolv bröden (12+5-1) över (12)

så
(12+5-1) över (4)   =   (12+5-1) över (12) Nej, inte över (4)...
(12+5-1) över (5)   = (12+5-1) över (12)

Men 16 över 12 = 16 över 4 enligt symmetriegenskapen och miniräknaren ...

Javisst - jag ändrade ett korrekt inlägg till ett felaktigt...

Nu är jag för trött. Godnatt.

I en binomialkoefficient $a\choose b$ ska $0\le b\le a$ , annars blir den noll, så i vårt fall ska $0\le k \le n+k-1$ .