Babysbytesmatris mening

God morgon! Vi har uppgiften:

Och svaret är att det är en spegling i $$e_1,e_3´$$-axel. Alltså man ser att $y$ axeln är en enhetsvektor i $A$ , men att både $x$ och $z$ basvektorer är förändrats.

Faciten säger dessutom ''planet med normal vektor $(3,0,-1)$ i standard koordinater'' som jag inte förstår direkt.

Jag ser att den första kolonvektor är $(-4,0,3)$ och den tredje $(3,0,4)$ normerad med 0.2, men vad är minus tecken för liksom? När jag försöker rita det ser jag inte en kub som roterar på andra sidan av $y$ axeln eller nåt liknande, som man skulle kunna förvänta sig. Men det känns att matrisen {{-0.8,0,0.6}{0,1,0}{-0.8,0,0.6}} har vi jobbat tillräckligt med för att känna igen på en gång?

Hej Daja!

Jag tror jag förstår vad du vill göra. Genom att stirra på matrisen A vill du att den genast ska avslöja sina innersta hemligheter och bjuda ut sig själv till allmän beskådan.

Men det är oftast inte möjligt, A är hemlighetsfull!

För att avslöja vad avbildningen egentligen gör måste vi först bjuda den på blommor och choklad. Vi skriver om avbildningsmatrisen i en annan bas ${e_{1}', e_{2}', e_{3}'}$ där dess innersta hemligheter blir synliga.

$A' = T^{- 1} A T$

Nu ser vi att avbildningen vill avbilda $e_{1}'$ på sig själv, $e_{3}$ ' på sig själv och $e_{2}'$ på spegelbilden av sig själv genom planet som spänns av de andra basvektorerna ( $F (e_{2}') = - e_{2}'$ ).

Geometriskt betyder avbildningen en spegling i planet (som innehåller origo) vars normal är $\mathbf e_2'$ .

I vår "gamla" bas är en normal till planet $(\hat{n})_{e} = (e_{2}')_{e} = {(\frac{1}{\sqrt{10}} (3, 0, - 1))}_{e}$

Genom skalning av $\mathbf e_2'$ får vi mycket riktigt (3,0,-1).

Notera att du inte kan avslöja vad A gör genom att bara titta på den, först måste du bjuda A på blommor och choklad!

Lite överkurs:

Vi kan däremot säga några saker om A. Eftersom A är reell och symmetrisk är alla egenvärden reella och egenvektorerna kan väljas reella. Vidare är A ortogonal med determinanten -1. Alltså måste A motsvara en rotation följt av en spegling i origo.

En symmetrisk linjär avbildning på ett ändligtdimensionellt (reellt) linjärt rum har alltid en ON-bas bestående av egenvektorer till avbildningsmatrisen.

En egenvektor till en matris är en vektor som avbildas på sig själv med en konstant framför. Konstanten kallas egenvärdet. Valet av bas (den bas som avslöjar A) är alltså inte slumpmässigt utan är helt enkelt egenvektorerna till A. Så här:

$A e_{1}' = λ_{1} \cdot e_{1}' = 1 \cdot e_{1}'$

Egenvektorn $\mathbf e_1'$ har egenvärdet $λ_{1} = 1$

$A e_{2}' = λ_{2} \cdot e_{2}' = - 1 \cdot e_{2}'$

Egenvektorn $\mathbf e_2'$ har egenvärdet $λ_{2} = - 1$ .

$A e_{3}' = λ_{3} \cdot e_{3}' = 1 \cdot e_{3}'$

Egenvektorn $e_{3}'$ har egenvärdet $λ_{3} = 1$

Tack och lov är du här!

Jag har bjudit mina matriser på choklad hela dagen, och det blev inte så himla mycket bättre! (hmm det blev faktiskt lite bättre, jag börjar förstå principen och poängen, även att det är fortfarande krångel i basbyte)

Jag måste testa vad du säger om normalen, återkommer...

EDIT: nähä nu förstår jag.

Du menar att för att få $e'_{2}$ gör vi en kryssprodukt av $$e'_{3} \times e'_{1}$$, då är $e'_{2}$ ortogonal såklart, dvs en normal till planen....

Svara