7 svar

208 visningar

dajamanté behöver inte mer hjälp

Babysbyte matris

Mitt idiotisk försök:

Eftersom vi vill ha basen i $f_{1}, f_{2}, f_{3}$ och har redan receptet med $e_{1,} e_{2}, e_{3}$ , det räcker med att transponera de tre kolon vektorerna:

$T = \frac{1}{3} (\begin{matrix} 1 & 2 & - 2 \\ - 2 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{matrix})$ .

Denna är positiv orienterade resonerade jag, eftersom det var något i kursen att en positiv orienterad bas förbli positiv när man applicerar samma linear transformation eller något dylikt.

Och för den tredje räknade jag: $(5, - 1, 2) * \frac{1}{3} (\begin{matrix} 1 & 2 & - 2 \\ - 2 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{matrix}) = \frac{1}{3} (5 - 10 + 10), \frac{1}{3} (10 + 10 + 5), \frac{1}{3} (- 10 + 5 + 10)$

Det blev såklart fel, som avslöjar djupa håll i min kunskap.

Figur, i fall Guggle tittar på det (tyvärr ser man inte den ursprungliga matris under babysbyten)

Hej Daja,

Nu verkar du ha återgått till att göra om dina kolonnvektorer till radvektorer eller något annat konstigt. Tänk på att $xT$ inte är tillåtet om x är en 3:1 kolonnvektor samt att $x^tT$ inte är samma sak som $Tx$

Du verkar också ha glömt att invertera T, tänk på att du nu använder en basbytesmatris T som uppfyller

$x=Tx'$

Har du en vektor i "den gamla basen" och vill uttrycka den i den nya prim-basen får du multiplicera med $T^{-1}=T^t$ från vänster dvs

$x'=T^{-1}x$

Ser du skillnaden? Lägg märke till åt vilket håll transformationen går.

Vi använder här den inom matematiken vanliga konventionen att låta ortogonalmatrisen T vid matrismultiplikation från vänster transformera från de nya till de gamla koordinaterna.

Fysiker brukar transformera i den andra riktningen och använder $A=T^t$ med ekvationen $x'=Ax$ .

Guggle skrev :
Hej Daja,
Nu verkar du ha återgått till att göra om dina kolonnvektorer till radvektorer eller något annat konstigt. Tänk på att $xT$ inte är tillåtet om x är en 3:1 kolonnvektor samt att $x^tT$ inte är samma sak som $Tx$
Du verkar också ha glömt att invertera T, tänk på att du nu använder en basbytesmatris T som uppfyller
$x=Tx'$

Jag skrev:

$f_{1} = \frac{1}{3} e_{1} - \frac{2}{3} e_{2} + \frac{2}{3} e_{3} f_{2} = \frac{2}{3} e_{1} + \frac{2}{3} e_{2} + \frac{1}{3} e_{3} f 3 = - \frac{2}{3} e_{1} + \frac{1}{3} e_{2} + \frac{2}{3} e_{3}$

och transponerat dessa rad i kolonner, du menar att jag inte borde ha gjort det?

Har du en vektor i "den gamla basen" och vill uttrycka den i den nya prim-basen får du multiplicera med $T^{-1}=T^t$ från vänster dvs
$x'=T^{-1}x$
Ser du skillnaden? Lägg märke till åt vilket håll transformationen går.

Alltså, nej. Jag trodde att jag hade en bra knep för att ha koll på åt vilket håll det gick, men det blev bara förvirrande, för det fungerar inte.

Vi använder här den inom matematiken vanliga konventionen att låta ortogonalmatrisen T vid matrismultiplikation från vänster transformera från de nya till de gamla koordinaterna.
Fysiker brukar transformera i den andra riktningen och använder $A=T^t$ med ekvationen $x'=Ax$ .

Du menar att vi har egentligen receptet för den gamla bas, och måste invertera detta för att få återgång till den nya bas? Har du några tips för att komma ihåg detta?

Så du menar:

nya= invers matris * gamla

Isf, hur hittar jag den original matris att invertera?

Är det inte den som är givet från ekvationen med f1,f2 och f3?

dajamanté skrev :
Jag skrev:
$f_{1} = \frac{1}{3} e_{1} - \frac{2}{3} e_{2} + \frac{2}{3} e_{3} f_{2} = \frac{2}{3} e_{1} + \frac{2}{3} e_{2} + \frac{1}{3} e_{3} f 3 = - \frac{2}{3} e_{1} + \frac{1}{3} e_{2} + \frac{2}{3} e_{3}$
och transponerat dessa rad i kolonner, du menar att jag inte borde ha gjort det?

Jo, det är jättebra. Du har ställt upp en korrekt T. Men nu gäller alltså

$x=Tx'$

Det betyder att

$x'=T^tx$

Enligt uppgiften är $x=\begin{pmatrix}5 \\-1 \\2\end{pmatrix}$

Kan du beräkna x'?

Har du några tips för att komma ihåg detta?

Jag tänker att T innehåller den nya basen (f1, f2, f3) uttryckt i den gamla. Om vi multiplicerar de nya basvektorerna (uttryckta i de gamla) med en koordinatvektor i den nya basen (x') får vi alltså vad vektorn är i den gamla basen, x

$x=Tx'$

Vill jag gå åt andra hållet multiplicerar jag båda sidor från vänster med $T^{-1}$ .

$T^{-1}x=T^{-1}Tx'$

Nu är dessutom T ortogonal, varför $T^{-1}=T^t$ och $T^{-1}Tx'=x'$ så

$T^{t}x=x'$ eller om man så vill $x'=T^{t}x$ .

Tack igen Guggle. Det låter rimligt och logisk. Jag nästan förstod innan jag försökt omformulera, och då jag insåg att jag behövde mer kaffe och ännu mer uppgifter.

Men:

$x' = T^{t} x \frac{1}{3} (\begin{matrix} 1 & - 2 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \\ - 2 & 1 & 2 \end{matrix}) (\begin{matrix} 5 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}) = \frac{1}{3} (\begin{matrix} 11 \\ 10 \\ - 7 \end{matrix})$

Yay tack! Det blev rätt. Varför är det också positivt orienterad?

dajamanté skrev :
Yay tack! Det blev rätt.

Bra, the baby is safe for now!

Varför är det också positivt orienterad?

Om båda koordinatsystemen är högersystem så är $\det(T)=+1$ (T är ju en ortogonal matris). Däremot blir determinanten $=-1$ vid transformation mellan ett höger- och ett vänstersystem.

Det beror på att T består av den nya basen uttryckt i den gamla.

Den skalära trippelprodukten definieras som

$\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})=\begin{vmatrix}a_x &a_y &a_z\\ b_x &b_y &b_y\\ c_x& c_y & c_z\end{vmatrix}$

Den är ett reellt tal vars tecken beror på hur vektorerna (a,b,c) är orienterade i förhållande till varandra. Om vi låter $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ vara basvektorer (i given ordning) och de pekar som tumme, pekfinger och långfinger på höger hand säger vi att ordningen bildar ett högersystem och den skalära trippelprodukten är då ett positivt tal.

Den skalära trippelprodukten är alltså samma sak som determinanten av en matris vars rader eller kolonner innehåller a, b, c i ordningsföljd. Är determinanten positiv är $a\times b= c$ , $b\times c=a$ osv.

Om vi byter ordning på två vektorer i följden, t.ex. (a,b,c)->(a,c,b) byter två rader eller kolonner plats och då multipliceras determinanten med -1 enligt räknelagarna för determinanter. Alltså gäller att om (a,b,c) är ett högersystem så måste (a,c,b) vara ett vänstersystem.

Hej!

Din matris $T$ avbildar vektorer i e-systemet till vektorer i f-systemet.
Om matrisen är inverterbar så avbildas en bas i e-systemet på en bas i f-systemet.
Om matrisens determinant är sådan att dess absolutbelopp är $|\det T| = 1$ så bevaras vektorers längder; då avbildas en ON-bas i e-systemet på en ON-bas i f-systemet.
Om matrisens determinant är $\det T = -1$ så avbildas en positivt orienterad ON bas i e-systemet på en negativt orienterad ON-bas i f-systemet.

Tack för alla förklaringar!

När ni skriver att en system "avbildas på" en annan system, vad betyder det exakt?

Det ser ut att det är motsatsen till hur jag tolkar det!

Svara

Visa senaste svar