Babysbyte i matrisen

Hej!

Sluta upp med att använda ordet "medberoende" när termen som avses är "linjärt beroende".

Albiki

Du vet att vektorerna $v_1$ och $v_2$ bildar en bas för planet. Det betyder att vektorn $u_k$ kan skrivas som en linjärkombination av v-vektorerna.

    $u_k = \frac{u_k\cdot v_1}{|v_1|^2}v_1 + \frac{u_k\cdot v_2}{|v_2|^2}v_2.$

Albiki

Skalärprodukterna är 

    och $u_1\cdot v_2 = (3,1)\cdot (1,-1) = 3-1 = 2$.

V-vektorernas längder är $|v_1|^2=1^2+1^2 = 2$ och $|v_2|^2=1^2+(-1)^2=2$. Det medför att vektorn $u_1$ uttrycks på följande sätt i v-basen.

    $u_1 = \frac{4}{2}v_1 + \frac{2}{2}v_2 = 2v_1+1v_2$.

Nu är det din tur att genomföra motsvarande beräkningar för att uttrycka vektorn $u_2$ i v-basen.

Albiki

Tack, jag tror jag förstår. Jag gör det imorgon bitti!

  Ok, så på samma sätt kan $u_{2}$ skrikvas 

$u_2 = \frac{u_2\cdot v_1}{|v_1|^2}v_1 + \frac{u_2\cdot v_2}{|v_2|^2}v_2.$

Eftersom $u_{2}=(-2,0)$, $v_{1}=(1,1)$ och $v_{2}=(1,-1)$, blir $u_2\bullet v_1=-2\cdot 1+0\cdot1=-2$ och $u_2\bullet v_2=-2\cdot 1+0\cdot -1=-2$.

$|v{1}|^{2},|v{2}|^{2}$ har fortfarande längden* (i kvadrat??) lika med $2$:

$u_2=\frac{-2}{2}{v}_1+\frac{-2}{2}{v}_2=-1v_1 + (-1)v_2$

Förresten varför skrev du att deras längd var lika med 2, och inte längden i kvadrat? Är inte deras längd 

$$\begin{gathered} \left|v_1\right|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2} \\ \left|v_2\right|=\sqrt{1^2+(-1{)}^2}=\sqrt{2} \end{gathered}$$

Och om jag förstådd rätt, nu har vi på samma sätt:

$v_k=\frac{v_k\bullet u_1}{{\left|u_1\right|}^2}+\frac{v_k\bullet u_2}{{\left|u_2\right|}^2}$

$$\begin{gathered} {\left|u_1\right|}^2=3^2+1^2=10 \\ {\left|u_2\right|}^2={\left(-2\right)}^2+0^2=4 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} v_1\bullet u_1=1·3 + 1·1 =4 \\ {v}_1\bullet u_2=1·-2 + 1·0 =-2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} v_1=\frac{v_1\bullet u_1}{{\left|u_1\right|}^2}{u}_1+\frac{v_1\bullet u_2}{{\left|u_2\right|}^2}{u}_2 \\ {v}_1=\frac{4}{10}{u}_1+\frac{-2}{4}{u}_2 = \frac{2}{5}{u}_1-\frac{1}{2}{u}_2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} v_2\bullet u_1=1·3 + -1·1 =2 \\ {v}_2\bullet u_2=1·-2 + -1·0 =-2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} v_2=\frac{v_2\bullet u_1}{{\left|u_1\right|}^2}{u}_1+\frac{v_2\bullet u_2}{{\left|u_2\right|}^2}{u}_2 \\ {v}_2=\frac{2}{10}{u}_1+\frac{-2}{4}{u}_2 = \frac{1}{5}{u}_1-\frac{1}{2}{u}_2 \end{gathered}$$

Hmm nej det verkar inte stämma med matris B? Jag har tittat igenom för slarv, men jag vet inte var jag gör misstaget...

Skalärprodukten $(3,1)\cdot(-2,0)=-6\neq0$. Det betyder att basvektorerna $u_1$ och $u_2$ inte är vinkelräta mot varandra, till skillnad från basvektorerna $v_1$ och $v_2$.

Guggle skrev :

Skalärprodukten $(3,1)\cdot(-2,0)=-6\neq0$. Det betyder att basvektorerna $u_1$ och $u_2$ inte är vinkelräta mot varandra, till skillnad från basvektorerna $v_1$ och $v_2$.

Efterfrågades detta också?

Det har jag råkat missa!

(har inte folk nåt annat att göra än polluera trådar?)

dajamanté skrev :

Guggle skrev :

Skalärprodukten $(3,1)\cdot(-2,0)=-6\neq0$. Det betyder att basvektorerna $u_1$ och $u_2$ inte är vinkelräta mot varandra, till skillnad från basvektorerna $v_1$ och $v_2$.

Efterfrågades detta också?

Du frågade

Hmm nej det verkar inte stämma med matris B? Jag har tittat igenom för slarv, men jag vet inte var jag gör misstaget...

Ditt misstag är att du förutsätter att $u_1$ och $u_2$ är vinkelräta mot varandra när du räknar ut koefficienterna för att uttrycka $v_1$ och $v_2$ som linjärkombinationer av $u_1$ och $u_2$.

Eftersom du redan har lyckats bestämma $u_1=2v_1+1v_2$ samt $u_2=-v_1-v_2$ är det enklare att invertera matrisen

$\begin{bmatrix}2 & -1\\ 1 &-1 \end{bmatrix}^{-1}=\frac{1}{-1}\begin{bmatrix}-1 & 1\\ -1 &2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & -1\\ 1 &-2 \end{bmatrix}$

Vad är detta blod som sprutar på min T-shirt? Är det en till hjärnblödning från överansträngning?

Jag måste verkligen fundera på hur det hänger ihop.

Jag trodde att basbyte fungerade från vilket ${\mathbb{B}}_1$ till vilken ${\mathbb{B}}_n$ som helst, att det var bara en  perspektivskiftet, inget att göra med att baser var ortonormala eller inte?

Aha du kanske menar att formeln $u_k=\frac{u_k\bullet v_1}{{\left|v_1\right|}^2}{v}_1+\frac{u_k\bullet v_2}{{\left|v_2\right|}^2}{v}_2$ funkar inte om $v_1, v_2$ inte är ortonormala?

dajamanté skrev :

Vad är detta blod som sprutar på min T-shirt? Är det en till hjärnblödning från överansträngning?

 

Jag måste verkligen fundera på hur det hänger ihop.

Jag trodde att basbyte fungerade från vilket ${\mathbb{B}}_1$ till vilken ${\mathbb{B}}_n$ som helst, att det var bara en  perspektivskiftet, inget att göra med att baser var ortonormala eller inte?

Aha du kanske menar att formeln $u_k=\frac{u_k\bullet v_1}{{\left|v_1\right|}^2}{v}_1+\frac{u_k\bullet v_2}{{\left|v_2\right|}^2}{v}_2$ funkar inte om $v_1, v_2$ inte är ortonormala?

Hej!

I en av dina trådar har jag visat dig att om $\{u_{1},u_{2}\}$ är en ortogonal bas för planet -- inte nödvändigtvis en ON-bas -- så kan varje vektor ($v$) i planet skrivas som följande linjärkombination. (Detta var dessutom en sats i din kursbok.)

    $v = \frac{v \cdot u_1}{|u_{1}|^2}u_{1} + \frac{v \cdot u_2}{|u_{2}|^2}u_{2}.$

Om $\{u_{1},u_{2}\}$ är en bas för planet -- varken ortogonal eller normerad -- så blir linjärkombinationen

    $v = c_{1}u_1 + c_2 u_2$

mer komplicerad än ovan; koefficienterna $c_{k}$ bestäms av normerna $|u_i|^2$, skalärprodukterna $u_{i} \cdot v$ samt skalärprodukten $u_{1}\cdot u_{2}.$

Albiki

Albiki skrev :

dajamanté skrev :

Vad är detta blod som sprutar på min T-shirt? Är det en till hjärnblödning från överansträngning?

 

Jag måste verkligen fundera på hur det hänger ihop.

Jag trodde att basbyte fungerade från vilket ${\mathbb{B}}_1$ till vilken ${\mathbb{B}}_n$ som helst, att det var bara en  perspektivskiftet, inget att göra med att baser var ortonormala eller inte?

Aha du kanske menar att formeln $u_k=\frac{u_k\bullet v_1}{{\left|v_1\right|}^2}{v}_1+\frac{u_k\bullet v_2}{{\left|v_2\right|}^2}{v}_2$ funkar inte om $v_1, v_2$ inte är ortonormala?

Hej!

I en av dina trådar har jag visat dig att om $\{u_{1},u_{2}\}$ är en ortogonal bas för planet -- inte nödvändigtvis en ON-bas -- så kan varje vektor ($v$) i planet skrivas som följande linjärkombination. (Detta var dessutom en sats i din kursbok.)

Om $\{u_{1},u_{2}\}$ är en bas för planet -- varken ortogonal eller normerad -- så blir linjärkombinationen

    $v = c_{1}u_1 + c_2 u_2$

mer komplicerad än ovan; koefficienterna $c_{k}$ bestäms av normerna $|u_i|^2$, skalärprodukterna $u_{i} \cdot v$ samt skalärprodukten $u_{1}\cdot u_{2}.$

Albiki

Kan du skriva hur det ser ut när den inte är ortogonal eller ortonormal? 

Om $v = c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2}$ så bestäms koefficienterna ur ekvationssystemet

    $v \cdot u_{1} = c_{1} |u_{1}|^2 + c_{2}u_{2}\cdot u_{1}$

    $v \cdot u_{2} = c_{2} |u_{2}|^2 + c_{1}u_{2}\cdot u_{1}.$

På matrisform:

    $\begin{pmatrix}|u_{1}|^2&u_{2}\cdot u_{1}\\u_{2}\cdot u_{1}&|u_{2}|^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}v \cdot u_{1}\\v \cdot u_{2}\end{pmatrix}$.

Koefficienterna är följaktligen

    $\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}|u_{1}|^2&u_{2}\cdot u_{1}\\u_{2}\cdot u_{1}&|u_{2}|^2\end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix}v \cdot u_{1}\\v \cdot u_{2}\end{pmatrix}$.

Albiki

Den inversa matrisen är

    $\frac{1}{(|u_1||u_2|)^2-(u_1\cdot u_2)^2}\begin{pmatrix}|u_2|^2&-u_{1}\cdot u_{2}\\-u_{1}\cdot u_{2}&|u_{1}|^2\end{pmatrix}$

så att koefficienterna blir

    $\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix} = \frac{1}{(|u_1||u_2|)^2-(u_1\cdot u_2)^2}\begin{pmatrix}|u_2|^2&-u_{1}\cdot u_{2}\\-u_{1}\cdot u_{2}&|u_{1}|^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v\cdot u_{1}\\v\cdot u_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{|u_{2}|^2v\cdot u_{1}-(u_{1}\cdot u_{2})(v\cdot u_{2})}{(|u_1||u_2|)^2-(u_1\cdot u_2)^2}\\\frac{|u_{1}|^2v\cdot u_{2}-(u_{1}\cdot u_{2})(v\cdot u_{1})}{(|u_1||u_2|)^2-(u_1\cdot u_2)^2}\end{pmatrix}$.

Herregud... Det känns oerhört komplicerat. 

O andra sidan tyckte jag att enhetscirkeln var oerhört komplicerat och förstådd inte vad var hela poängen. Och nu skulle jag inte klara mig utan.

Tack så mycket för alla svar idag!

I specialfallet då basvektorerna är ortogonala förenklas koefficienterna till

    $\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\frac{v\cdot u_{1}}{|u_1|^2}\\\frac{v\cdot u_{2}}{|u_2|^2}\end{pmatrix}$.

I det ytterligare specialfallet att basvektorerna är ortonormala förenklas koefficienterna till detta.

    $\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}v\cdot u_{1}\\v\cdot u_{2}\end{pmatrix}$.

Albiki