b2 - 6.39b

Uppgift: Lös polynomekvationen nedan

$z^{2} + (2 - 2 i) z - 6 i - 3 = 0$

Min lösning:

$\begin{array}{l} z^{2} + (2 - 2 i) z - 6 i - 3 = 0 (k v a d r a t k o m p l e t t e r i n g) \\ {(z + \frac{2 - 2 i}{2})}^{2} - {(\frac{2 - 2 i}{2})}^{2} - 3 - 6 i = 0, [w = z + \frac{2 - 2 i}{2}], \\ w^{2} - \frac{4 - 4 - 8 i}{4} - 3 - 6 i = 0 \\ w^{2} - 2 i - 3 - 6 i = 0, [w^{2} = 3 + 8 i], [{|w|}^{2} = {(\sqrt{3^{2} + 8^{2}})}^{2} = 73] (h j ä l p e k v a t i o n) \\ {(x + y i)}^{2} = 3 + 8 i \\ x^{2} - y^{2} + 2 x y i = 3 + 8 i \\ x^{2} - y^{2} = 3, \\ x^{2} + y^{2} = 73, 2 x^{2} = 76, [x = + - \sqrt{38}], 2 y^{2} = 70, [y = + - \sqrt{35} (h j ä l p e k v a t i o n)] \\ 2 x y = 8 \\ w_{1} = \sqrt{38} + i \sqrt{35}, w_{2} = - \sqrt{38} - i \sqrt{35} \\ w = z + \frac{2 - 2 i}{2}, [z = w - \frac{2 - 2 i}{2}] \\ z_{1} = \sqrt{38} + i \sqrt{35} - \frac{2 - 2 i}{2} = 5.164414 + 6.91608 i \\ z_{2} = - \sqrt{38} - i \sqrt{35} - \frac{2 - 2 i}{2} = - 7.164414 - 4.91608 i \end{array}$

Facit svar: z_1=3, z_2=1+2i

Det blir fel här

Du har - (-2i) och får

w^2+2i-3-6i=0

w^2-3-4i=0

Prova härifrån och tänk på att ekv som du får är löst i 6.38c

Trinity2 skrev:
Det blir fel här

Du har - (-2i) och får

w^2+2i-3-6i=0

w^2-3-4i=0

Prova härifrån och tänk på att ekv som du får är löst i 6.38c

Kommer inte riktigt in i mål.

$\begin{array}{l} z^{2} + (2 - 2 i) z - 6 i - 3 = 0 (k v a d r a t k o m p l e t t e r i n g) \\ {(z + \frac{2 - 2 i}{2})}^{2} - {(\frac{2 - 2 i}{2})}^{2} - 3 - 6 i = 0, [w = z + \frac{2 - 2 i}{2}], \\ w^{2} - \frac{4 - 4 - 8 i}{4} - 3 - 6 i = 0 \\ w^{2} + 2 i - 3 - 6 i = 0, [w^{2} = 3 + 4 i], [{|w|}^{2} = {(\sqrt{3^{2} + 4^{2}})}^{2} = 25] (h j ä l p e k v a t i o n) \\ {(x + y i)}^{2} = 3 + 4 i, x^{2} - y^{2} + 2 x y i = 3 + 4 i \\ x^{2} - y^{2} = 3, \\ x^{2} + y^{2} = 25, 2 x^{2} = 28, [x = + - \sqrt{14}], 2 y^{2} = 22, [y = + - \sqrt{11}] \\ 2 x y = 4 \\ w_{1} = \sqrt{14} + i \sqrt{11}, w_{2} = - \sqrt{14} - i \sqrt{11} \\ w = z + \frac{2 - 2 i}{2}, [z = w - \frac{2 - 2 i}{2}] \\ z_{1} = \sqrt{14} + i \sqrt{11} - \frac{2 - 2 i}{2} = 2.741657 + 4.316625 i \\ z_{2} = - \sqrt{14} - i \sqrt{11} - \frac{2 - 2 i}{2} = - 4.741657 - 2.316625 i \end{array}$

Det går fel vid hjälpekvationen

w^2=3+4i är ok

|3+4i|=5 (egyptisk triangel)

varför

|w^2|=5 dvs |w|^2=5 dvs x^2+y^2=5

Då får du

x^2-y^2=3

x^2+y^2=5

2x^2=8

x^2=4

... och nu är vi tillbaka på spåret igen... fortsätt...

Trinity2 skrev:
Det går fel vid hjälpekvationen

w^2=3+4i är ok

|3+4i|=5 (egyptisk triangel)

varför

|w^2|=5 dvs |w|^2=5 dvs x^2+y^2=5

Då får du

x^2-y^2=3

x^2+y^2=5

2x^2=8

x^2=4

... och nu är vi tillbaka på spåret igen... fortsätt...

Ok, så jag behöver inte kvadrera roten vid hjälpekvation? Blir lite förvirrad då Jonas Månsson gjorde så i sin video "Komplexa tal del 15 - komplexa andragradsekvationer av allmän form".

Jonas gör säkert rätt, men du rör till det lite i dina siffror här:

Denna rad hade varit rätt OM w=3+4i, men det är w^2=3+4i, det är därför du får fel värde. Vi vet ej w utan w^2. Hade vi vetat w hade vi varit klara (eller nästan klara iaf).

Postar mitt svar här, tack för alla som hjälpte!

$\begin{array}{l} z^{2} + (2 - 2 i) z - 6 i - 3 = 0 (k v a d r a t k o m p l e t t e r i n g) \\ {(z + \frac{2 - 2 i}{2})}^{2} - {(\frac{2 - 2 i}{2})}^{2} - 3 - 6 i = 0, [w = z + \frac{2 - 2 i}{2}], \\ w^{2} - \frac{4 - 4 - 8 i}{4} - 3 - 6 i = 0 \\ w^{2} + 2 i - 3 - 6 i = 0, [w^{2} = 3 + 4 i], {|w|}^{2} = {(\sqrt{3^{2} + 4^{2}})}^{2} = 25, [w = 5] (h j ä l p e k v a t i o n) \\ {(x + y i)}^{2} = 3 + 4 i, x^{2} - y^{2} + 2 x y i = 3 + 4 i \\ x^{2} - y^{2} = 3, \\ x^{2} + y^{2} = 5, 2 x^{2} = 8, [x = + - 2], 2 y^{2} = 2, [y = + - 1] \\ 2 x y = 4 (m e d f ö r s a m m a t e c k e n + + e l l e r - -) \\ w_{1} = 2 + i, w_{2} = - 2 - i \\ w = z + \frac{2 - 2 i}{2}, [z = w - \frac{2 - 2 i}{2}] \\ S v a r : z_{1} = 2 + i - \frac{2 - 2 i}{2} = 1 + 2 i & z_{2} = - 2 - i - \frac{2 - 2 i}{2} = - 3 \end{array}$

Svara

Visa senaste svar