Avstånd mellan linjer

Välkommen till Pluggakuten!

Det betyder att de båda linjerna är parallella. Då reduceras uppgiften till att bestämma avståndet mellan punkterna (0,2,2) och (1,0,1).

EDIT: Nä, lite krångligare var det, se nedan.

Man måste försäkra sig om att de två punkterna ger det minsta avståndet också. 

Tack snälla för hjälpen! Vad är det för formel man använder sig av då? Räcker det att ta fram en vektor mellan punkterna och ta dess absolutbelopp? Får nämligen längden till roten ur 6 då istället för 2...

Laguna har rätt, det räcker inte. Gör en normal från den ena punkten till den andra linjen och räkna på dessa båda punkter istället.

Avståndet i y-led är alltid lika med 2 eftersom man inte har någon komponent i riktningsvektorn i den dimensionen.

Därmed kan man förvandla det till ett problem i xz-planet:

Linje 1:

$x=s$

$z=2-s=2-x$

Linje 2:

$x=1-2t\Rightarrow 2t=1-x$

$z=1+2t=1+1-x=2-x$

Vad blir då avståndet mellan linjerna?

Förlåt för långsamt svar, men förstår fortfarande inte hur man får fram 2an. Om linjerna inte hade varit parallella så hade jag använt mig av projektion efter att ha tagit ut en normal med hjälp av de 2 riktningsvektorerna. Men är förvirrad gällande hur man tar ut en normal från endast ena punkten. Vad använder man då om man inte kan använda dess riktningsvektorer? Och hur får man fram en 2a ur linje 1 och linje 2 med ekvationssystemen? Förstår att man kan eliminera y-axeln då y har värde noll i båda riktningsvektorer men förstår inte omskrivningen av linjerna. Tack igen för er hjälp! 

Tips:

inför en ny parameter $u$ enligt följande samband:

$s=1-2u$. Då kan linje 1 skrivas om med den nya parametern $u$:

(0,2,2)+(1-2u)(1,0,-1)=

(1,2,1)+u(-2,0,2)

Ser du då någon likhet med linje 2?

Här är en annan formulering. Om det är en annan metod vet jag inte. Ta en punkt på ena linjen, t.ex. (1,0,1) och bilda familjen av vektorer därifrån till punkter på andra linjen. Det blir (0,2,2) +s*(1,0,-1) - (1,0,1) = (s-1,2,1-s). Minimera längden av (s-1,2,1-s).

Om man tycker om kryssprodukter kan man göra så här: Bilda vektorn mellan de kända punkterna: (0,2,2) - (1,0,1) = (-1,2,1). Kryssa den med riktningsvektorn (för nån av linjerna, tecken och längd spelar ingen roll): (-1,2,1) x (1,0,1) = (-2,0,-2). Den vektorn är vinkelrät mot linjerna och också mot det plan som båda ligger i. Kryssa nu den med riktningsvektorn en gång till så får vi en vektor som går vinkelrätt från en linje mot den andra linjen, dvs. kortaste vägen: (-2,0,-2) x (1,0,1) = (0,4,0).

Om det här nånsin kan vara enklare än förra förslaget vet jag inte, men vi fortsätter. Bilda linjen som utgår från den ena punkten och går närmaste vägen till den andra linjen, med parametern r: (0,2,2) + r*(0,4,0) = (1,0,1) + t*(-2,0,2). Lös ut r och t. r = -1/2, så punkten ifråga är (0,0,2). Nu är vi klara: Avståndet från (0,2,2) till närmaste punkten på andra linjen (0,0,2) är 2.

Om du har läst flervariabelanalys kan du beräkna avståndet (i kvadrat) mellan två godtyckliga punkter på linjerna.

Derivera avståndet (i kvadrat) m.a.p s och t. Båda dessa derivator ska vara 0, vilket ger dig s och t.

Dr. G skrev:

Om du har läst flervariabelanalys kan du beräkna avståndet (i kvadrat) mellan två godtyckliga punkter på linjerna.

Derivera avståndet (i kvadrat) m.a.p s och t. Båda dessa derivator ska vara 0, vilket ger dig s och t.

Det fungerar t o m för godtyckliga linjer, inte bara parallella.