Avståndsformel

Alla sådana punkter (som ligger lika långt från de givna punkterna) ligger på den vinkelräta bisektorn.

Macilaci skrev:

Alla sådana punkter (som ligger lika långt från de givna punkterna) ligger på den vinkelräta bisektorn.

Fattar inte riktigt.. Kan du rita linjen? Boken har bara pratat hittils om rätvinklig triangel i koordinatsystemet som man kan beräkna avståndet med hjälp av avståndsformel eller med hjälp av sinus, cosinus kan man få vinklarna. Men hur ska man hitta punkterna som skär x o y axlarna? Hur ser linjen ut i grafen

Det finns olika sätt att lösa problemet. Om vi utgår från avståndsformeln, kan vi säga:

Jag söker punkten på x axeln, (0, y₀). Jag kan uttrycka avståndet från (-4,-2) som $\sqrt{4^2+{\left(y_0+2\right)}^2}$.

Avståndet från (12,6) blir $\sqrt{{12}^2+{\left(y_0-6\right)}^2}$

Och då har jag en ekvation: 16 + y₀² + 4y₀ + 4 = 144 + y₀² - 12y₀ +36

y₀ = 10

Obs! Punkterna skär inte axlarna, de befinner sig på axlarna. :-)

Macilaci skrev:

Det finns olika sätt att lösa problemet. Om vi utgår från avståndsformeln, kan vi säga:

Jag söker punkten på x axeln, (0, y₀). Jag kan uttrycka avståndet från (-4,-2) som $\sqrt{4^2+{\left(y_0+2\right)}^2}$.

Avståndet från (12,6) blir $\sqrt{{12}^2+{\left(y_0-6\right)}^2}$

Och då har jag en ekvation: 16 + y₀² + 4y₀ + 4 = 144 + y₀² - 12y₀ +36

y₀ = 10

Åh 🥴den ser mer komplicerat än vad jag trodde.. Du sade avståndet från (-4,-2), men till vilken punkt? Inte (12,6)?

Kan du rita denna linje i koordinatsystemet är du snäll? Jag förståd att de frågan är vilka x- och y- punkter ligger mellan de givna punkterna.. 

Jag tror jag förståd frågan fel.. De givna punkterna har inte samband till varandra.. Utan varje för sig har sin egen avstånd.. 

Ja, a) och b) är oberoende punkter, med var sitt avstånd. (Men båda befinner sig på den vinkelräta bisektorn :) )

Jag ritade in avståndet för a). Här är den rätvinkliga triangeln.

Ursäkta, jag gjorde fel. Vad jag räknade ut ( (0,10) ) var naturligtvis punkten på y axeln.

Och ritningen visar punkten på x axeln.

Aha okej👍🏻.. Du sade i början om vi utgår från avståndsformeln.. Men vad är den andra metoden 

Macilaci skrev:

Jag söker punkten på x axeln, (0, y₀). Jag kan uttrycka avståndet från (-4,-2) som $\sqrt{4^2+{\left(y_0+2\right)}^2}$.

Avståndet från (12,6) blir $\sqrt{{12}^2+{\left(y_0-6\right)}^2}$

Varför står det y0 på båda varför inte utsn den? Jag fick då ca 4,5 i a) istället för 5. Då jag räknade roten ur 4^2 + 2^2

R.i.Al skrev:

Macilaci skrev:

Jag söker punkten på x axeln, (0, y₀). Jag kan uttrycka avståndet från (-4,-2) som $\sqrt{4^2+{\left(y_0+2\right)}^2}$.

Avståndet från (12,6) blir $\sqrt{{12}^2+{\left(y_0-6\right)}^2}$

Varför står det y0 på båda varför inte utsn den? Jag fick då ca 4,5 i a) istället för 5. Då jag räknade roten ur 4^2 + 2^2

Det förstår jag inte. :-(

Beräkningen för andra punkten ( (5,0) ):

Avståndet mellan (x₀,0) och (-4,-2) : $\sqrt{{(x_0+4)}^2+2^2}$

Avståndet mellan (x₀,0) och (12,6) : $\sqrt{{\left(x_0-12\right)}^2+6^2}$

(x₀ + 4)² + 2² = (x₀ - 12)² + 6²

x₀² + 8x₀ + 16 + 4 = x₀² -24x₀ +144 +36

32x₀ = 160

x₀ = 5

Macilaci skrev: 

(x₀ + 4)² + 2² = (x₀ - 12)² + 6²

Fattar inte här, varför har du lagt likhetstecken mellan dem? Du sa ju innan att givna punkter har inte samband till varandra.. 🙄

Nej, nej, det handlar bara om en punkt. Glöm uppgift b), och glöm också x₀, det var kanske inte ett lyckat namn.

Låt oss kalla våra två ursprungliga punkter P, och Q.

P = (-4,-2)     (P_x = -4, P_y = -2)

Q = (12,6)      (Q_x = 12, Q_y = 6)

Vi letar efter bara en punkt nu, som vi kallar A.

A = (A_x,A_y)

A_x och A_y är x och y koordinater av punkt A.

A är på x-axeln. Det betyder att A_y = 0.

A ligger lika långt från P och Q.

Avståndet mellan A och P är $\sqrt{{\left(A_x-P_x\right)}^2+{\left(A_y-P_y\right)}^2}$

Avståndet mellan A och Q är $\sqrt{{\left(A_x-Q_x\right)}^2+{\left(A_y-Q_y\right)}^2}$

Dessa två avstånden är lika med varandra: $\sqrt{{\left(A_x-P_x\right)}^2+{\left(A_y-P_y\right)}^2} = \sqrt{{\left(A_x-Q_x\right)}^2+{\left(A_y-Q_y\right)}^2}$

Men då avståndens kvadrater måste också vara lika med varandra: ${\left(A_x-P_x\right)}^2+{\left(A_y-P_y\right)}^2 = {\left(A_x-Q_x\right)}^2+{\left(A_y-Q_y\right)}^2$

Och i denna ekvation finns det bara ett okänt nummer: A_X  (då A_y=0, P_x=-4, P_y=-2, Q_x=12, Q_y=6)

Om vi löser ekvationen, får vi: A_x = 5. Vi letade efter en punkt, och vi beräknade dess x-koordinat (vad jag tidigare kallade för x₀)_. (Vi visste redan att dess y-koordinat var 0.)

Macilaci skrev:

Nej, nej, det handlar bara om en punkt. Glöm uppgift b), och glöm också x₀, det var kanske inte ett lyckat namn.

Låt oss kalla våra två ursprungliga punkter P, och Q.

P = (-4,-2)     (P_x = -4, P_y = -2)

Q = (12,6)      (Q_x = 12, Q_y = 6)

Vi letar efter bara en punkt nu, som vi kallar A.

A = (A_x,A_y)

A_x och A_y är x och y koordinater av punkt A.

A är på x-axeln. Det betyder att A_y = 0.

A ligger lika långt från P och Q.

Avståndet mellan A och P är $\sqrt{{\left(A_x-P_x\right)}^2+{\left(A_y-P_y\right)}^2}$

Avståndet mellan A och Q är $\sqrt{{\left(A_x-Q_x\right)}^2+{\left(A_y-Q_y\right)}^2}$

Dessa två avstånden är lika med varandra: $\sqrt{{\left(A_x-P_x\right)}^2+{\left(A_y-P_y\right)}^2} = \sqrt{{\left(A_x-Q_x\right)}^2+{\left(A_y-Q_y\right)}^2}$

Men då avståndens kvadrater måste också vara lika med varandra: ${\left(A_x-P_x\right)}^2+{\left(A_y-P_y\right)}^2 = {\left(A_x-Q_x\right)}^2+{\left(A_y-Q_y\right)}^2$

Och i denna ekvation finns det bara ett okänt nummer: A_X  (då A_y=0, P_x=-4, P_y=-2, Q_x=12, Q_y=6)

Om vi löser ekvationen, får vi: A_x = 5. Vi letade efter en punkt, och vi beräknade dess x-koordinat (vad jag tidigare kallade för x₀)_. (Vi visste redan att dess y-koordinat var 0.)

Fint och tydligt beskrivet nu.. Jag fattar Tackar👍🏻👍🏻