Avståndet från en punkt till ett plan

Hur kom du fram till punkterna Q och r? Hade vi känt till vad r var för vektor hade vi kunnat använda den metod du använder, det innebär att r = (6, 0, 0) inte stämmer.

Prova att använda ortogonal projektion och se om du lyckas lösa den på det sättet. I de flesta fall där man ska hitta det kortaste avståndet är ortogonal projektion involverat på något sätt, eftersom det kortaste avståndet är det vinkelräta (ortogonala) avståndet.

Lasse Vegas skrev:

Hur kom du fram till punkterna Q och r? Hade vi känt till vad r var för vektor hade vi kunnat använda den metod du använder, det innebär att r = (6, 0, 0) inte stämmer.

Q och r är godtyckliga punkter i planet tänker jag 😕 (man ser det på min skiss) 

Q kommer att vara en godtycklig punkt men inte r. Du har dock placerat r rätt rent geometriskt. 

Har du hållt på med projektioner i linjära algebran än?

Du har hittat avståndet mellan punkten (6,0,0) och (5,4,2). Det finns dock inget som bevisar att det är den punkt i planet som ligger närmast (5,4,2). Om du döper om Q till r och r till Q och räknar på samma sätt igen kommer du få ett annat avstånd.

Lasse Vegas skrev:

Har du hållt på med projektioner i linjära algebran än?

Jo, jag har löst en likande uppgift m.h.a. projektioner förut men tänkte att metoden ovan också borde fungera 

Bedinsis skrev:

Du har hittat avståndet mellan punkten (6,0,0) och (5,4,2). Det finns dock inget som bevisar att det är den punkt i planet som ligger närmast (5,4,2). Om du döper om Q till r och r till Q och räknar på samma sätt igen kommer du få ett annat avstånd.

Kollade upp det, och det stämmer att avståndet inte är detsamma om man byter plats på Q och r. Men jag förstår inte logiken. Vi har två punkter som ligger i planet (Q och r) och en punkt som inte är i planet (p). Hur kommer det sig att projektionen fungerar men inte min metod rent intuitivt?

Tänk dig att vi kollar parallellt med planet. Vi kan välja flera olika vektorer r men avståndet kommer att variera beroende på hur nära punkten är. T.ex så ser vi att r2 är längre bort än r1. Det viktiga är att avståndet ska vara vinkelrät eftersom det är det kortaste avståndet, vilket vi ser i figuren. Det finns alltså bara en punkt på planet som är närmast vilket innebär att vi inte kan använda en godtyckligt punkt r (vi måste använda rätt r).

När man använder ortogonal projektion behöver man inte veta vad r är för något, man får fram vad vektorn rP är på ett annat sätt.