Avstånd två flygplan

Hej, jag håller på med en uppgift som lyder

"Två flygplan flyger med samma konstanta fart v km/h i två räta linjer, vilka ligger i samma plan och skär varandra med vinkeln 120◦, där det är vinkeln mellan flygplanens riktningsvektorer som avses. När det första planet når linjernas skärningspunkt, har det andra planet d km kvar dit. Vad är det minsta avståndet som planen kommer att befinna sig på, och vid vilken tidpunkt inträffar det, i förhållande till tidpunkten då det förstaplanet når skärningspunkten?"

Jag får det till att avståndet mellan planen är $\frac{\sqrt{3}}{2}$ längdenheter men i facit står det att avståndet ska vara d/2. Ser någon var det blir fel?

Jag tror inte det stämmer riktigt att avståndet är som kortast när planen har samma $x$ -koordinat. Vidare så kommer inte $P_{1}$ passera punkten $(0, c) = (0, 2 d)$ . Höjden på den rätvinkliga triangeln med hörn $(0, 0)$ , $(d, 0)$ och vinkeln $60 °$ fås genom pythagoras sats: $h^{2} = c^{2} - d^{2} = 4 d^{2} - d^{2} = 3 d^{2}$ , dvs. $h = \sqrt{3} d$ . Planet $P_{1}$ går alltså från $(d, 0)$ till $(0, \sqrt{3} d)$ .

Jag skulle parametrisera de två linjerna som planen flyger längs, sedan ställa upp ett uttryck för avståndet mellan dem, och undersöka när det uttrycket uppnår sitt minsta värde.

Visa spoiler

Låt oss välja koordinataxlarna så att $d = 1$ för enkelhetens skull.

Om $P_{1}$ går från $(1, 0)$ till $(0, \sqrt{3})$ då tiden $t$ går från, säg, $0$ till $1$ , och $P_{2}$ går från $(0, 0)$ till $(2, 0)$ på samma tid, så kan vi beskriva deras positioner som $P_{1} = (1, 0) + (- 1, \sqrt{3}) t = (1 - t, \sqrt{3} t)$ och $P_{2} = (0, 0) + (2, 0) t = (2 t, 0)$ .

Vi kan teckna ett uttryck för avståndet mellan dessa punkter:

$d i s t_{P_{1}, P_{2}} (t) = \sqrt{P_{1} - P_{2}} = \sqrt{({(1 - t) - 2 t)}^{2} + {(\sqrt{3} t)}^{2}} = \sqrt{1 - 6 t + 12 t^{2}}$ .

Vi undersöker när $1 - 6 t + 12 t^{2}$ minimeras (och således också roten ur uttrycket) genom att derivera:

$- 6 + 24 t = 0 \Leftrightarrow t = 1 / 4$ .

Insättning ger oss avståndet $d i s t (1 / 4) = \sqrt{1 - 6 / 4 + 12 / 16} = \sqrt{1 - 3 / 4} = \sqrt{1 / 4} = 1 / 2 .$

Det minsta avståndet blir alltså $d / 2$ .

Tillägg: 21 okt 2024 18:56

Visa spoiler

Hmm okej, hur får du $(- 1, \sqrt{3} t)$ i P1? Är det för att du tar $(0, \sqrt{3}) - (1, 0)$ ? Detta

är en uppgift från en endim tenta men det känns lite som en linalg lösning (vilket är helt okej för mig, har bara inte allt färskt i huvudet).

Om P_1 går från punkten p=(1, 0) till q=(0, sqrt(3)), så vi kan skriva linjen på vektorform som (1, 0) + (-1, sqrt(3))t. Här får jag riktningsvektorn från q - p.

Den enda linjära algebran jag använder är räta linjer på vektorform och avständet mellan två punkter i planet (som bara är pythagoras sats). Sedan får jag en funktion för avståndet som jag analyserar för att hitta ett minimum.

Vill man inte använda det går det kanske att resonera geometriskt om hur det måste se ut när planen uppnår sitt minsta avstånd, men jag tror inte det blir lika enkelt.

I princip är väl detta en uppgift man kan lösa enbart med cosinussatsen och derivata. Kortaste avståndet har man när första planet passerat skärningspunkten. Man får en triangel med sidorna x, d-x och vinkeln 60° mellan sidorna (se bilden). Sedan kan man ställa upp ett uttryck för avståndet i kvadrat a² med cosinussatsen och minimera (samma x ger minimum för både a² och a). Därefter beräknar man a.

Ja, det är nog en snyggare lösning än att använda ett koordinatsystem. Det kräver dock lite trigonometri som sagt.

Fin uppgift

Svara

Visa senaste svar