Avstånd till linje

Ja, (1,-2,1) är ju koordinatetna för punkten Q men de beräknar vektorn OR = OQ+QR där OQ är vektorn (1,-2,1) eftersom det är en ortsvektor för punkten Q om jag har förstått det rätt

$\overline{v}$ är inte vektorn från Q till R som i din bild, utan bara en vektor som beskriver ett steg i linjens riktning. Vektorn från Q till R är det som lösningen kallar ${\overline{u}}_{\left|\right|\overline{v}}$, alltså den komponent av u som är parallell med v.

Sedan har du helt rätt i att de använder punkten Q för att beräkna $\overline{OR}$. Eftersom vi nu har en vektor för att gå från Q till R, går vi först till Q och sen längs vektorn som leder därifrån till R:

$\overline{OR}=\overline{OQ}+\overline{QR}=\overline{OQ}+{\overline{u}}_{\left|\right|\overline{v}}$

Jag  har gjort ett alternativ, som inte använder sig av ortsvektorer, som i ditt lösningsförslag.

Jag tycker det går lika bra (eller bättre) med Pythagoras. Förhoppningsvis lite mindre förvirrande.

Sökt: Avståndet s.

Betrakta figuren nedan:

Vektorn $\overline{QP}=\begin{bmatrix}-2\\3\\-2\end{bmatrix}$.

Vektorn $\overline{QR}$ är $\overline{QP}$:s ortogonala projektion på linjen L.

Med projektionsformeln: $\overline{QR}=(\overline{QP}\bullet \mathbf{e})\mathbf{e}$,

där $\mathbf{e}$ är linjens normerade riktningsvektor. Uträknat får vi

$\overline{QR}=(-\dfrac{1}{2})\begin{bmatrix}2\\1\\3\end{bmatrix}$.

Pythagoras: $|\overline{QR}|^2+s^2=|\overline{QP}|^2$, varav

$s^2=17-\dfrac{14}{4}=\dfrac{54}{4}$, dvs $s=\dfrac{\sqrt{54}}{2}$, och vi är klara.

Det går också att lösa det som ett minimeringsproblem.

Låt $d(t)$ vara avståndet mellan linjen och punkten för varje värde på parametern $t$. Den sökta punkten på linjen fås då genom att minimera:

$\min_t f(t)=\min_t (d(t))^2=$

$\min_t ((x(t)-(-1))^2+(y(t)-1)^2+(z(t)-(-1)^2=$

$...=f(t_0)$