Avstånd och skärningslinje

Början på a ser rätt ut.

På b håller jag inte med om att det blir -32.

Är detta rätt på a? Och vad får du på b?

x och z ser bra ut. Kan du berätta vad du gör med y?

På b får du visa hur du räknar ut 1(2) - 1(3) + 4(-5) - 19.

Är detta ett sätt på a? På b får jag -40 nu istället

Är b rätt nu?

b verkar rätt. På a ska du uttrycka y i t (alltså x). Jag förstod inte riktigt hur du gjorde det.

Jag minns inte heller hur jag gjorde det. Hur kan mann annars skriva den ’?

Såhär?

Du kan inte räkna fram ett värde på t. t är parametern som ska variera.

Du hade y = t först, sedan övergick du till x = t och nu har du y = t igen. Inget av valen är fel, men du måste hålla dig till ett val.

Du började med de två ekvationerna:
$x+2y-2z=1 \left(1\right)$
$x-y+4z=19 \left(2\right)$

Du subtraherade $\left(2\right)$ från $\left(1\right)$ och fick då:
$3y+2z=-18 \left(3\right)$

Eftersom det finns en faktor 3 framför $y$,
vore det fördelaktigt att ersätta $z$ med något som också har en faktor 3.

Låt därför:
$z=3t \left(4\right)$

Sätt in $\left(4\right)$ i $\left(3\right)$ och beräkna ett uttryck för $y$. Kalla detta uttryck $\left(5\right)$

Sätt in $\left(4\right)$ och $\left(5\right)$ i $\left(1\right)$ och beräkna ett uttryck för $x$.

Sätt in $\left(4\right)$ och $\left(5\right)$ i $\left(2\right)$ och bekräfta att du får samma uttryck för $x$ igen.

Jag får olika värden på x

jarenfoa skrev:

Du började med de två ekvationerna:
$x+2y-2z=1 \left(1\right)$
$x-y+4z=19 \left(2\right)$

Du subtraherade $\left(2\right)$ från $\left(1\right)$ och fick då:
$3y+2z=-18 \left(3\right)$

Jag kopierade uttrycket för (3) från ditt första inlägg men inser nu att det inte stämmer.
I frågan innehåller (2) ett $+4z$ så som jag kopierat,
Men i din första uträkning av (3) har du använt en version av (2) som istället innehåller $-4z$

Det korrekta uttrycket för (3) blir därför:
$3y-6z=-18 \iff y-2z=-6$

Nu finns det ingen faktor 3 framför y så (4) blir bara:
$z = t$

Får det fortfarande inte att stämma :(

vad gör jag för fel?

Kontrollera att du använder rätt ekvationer för planen. Du verkar skriva en sak men räkna med en annan.

Okej, hur fortsätter jag sen?

Nu har du uttrycket för en linje i parameterform. Om du vill kan du skriva om det på formen $(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+t\mathbf{v}$ eller

$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_0\\y_0\\z_0\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix}v_x\\v_y\\v_z\end{pmatrix}$

Såhär?

Tanken är att linjens ekvation ges av en punkt på linjen och en riktningsvektor utmed linjen.

Du har fått fram att

$x=13-2t$

$y=2t-6$

$z=t$

Nu kan man med skriva det mer kompakt på vektorform så här

$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}13\\-6\\0\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix}-2\\2\\1\end{pmatrix}$

Ännu mer kompakt står det $(x,y,z)=(13,-6,0)+t(-2,2,1)$

Punkten $(13,-6,0)$ är alltså en punkt på linjen och $(-2,2,1)$ är en riktningsvektor för linjen. Kan du hitta en annan punkt på linjen genom att sätta $t=-6$?

För varje värde på $t$ blir det en ny punkt på linjen. Tillsammans utgör hela punktmängden linjen. Man säger att linjen är parametriserad i $t$.

Så jag ska sätta t= flera olika siffror och bilda flera punkter?

Tanken var att du skulle få lite geometrisk intuition för hur linjen uppför sig och hur man konstruerar den. Det vore också bra om du förstod att man kan använda vilken punkt som helst på linjen som "utgångspunkt".

Formellt sett är övningen avklarad nu när du fått fram skärningslinjen på parameterform.

Jahaa, men så svaret är detta?

Alltså såhär