avstånd mellan skeva linjer (Matematik/Universitet)

Är det i någon särskild punkt eller minsta avstånd?

Ett alternativ är att betrakta det som ett optimeringsproblem. Parametrisera första linjen med $t$ och andra med $u$ . Sök sedan minimum:

$\min_{t,u}(x(t)-x(u))^2+(y(t)-y(u))^2+(z(t)-z(u))^2$

För att lösa ett nytt problem kan man gärna jämföra med ett analogt problem som man kan lösa.

Att bestämma avståndet mellan två linjer i rummet är analogt med att bestämma avståndet mellan två plan i rummet.

Om du vet hur man bestämmer avståndet mellan två plan i rummet så kan det vara relevant att undersöka om man kan relatera linjeproblemet till planproblemet och använda planmetoder.

jag förstår inte 2x=3y=4z och x-1=y-2=z.

2x=3y=4z

Är shorthand för att var och en av koordinaterna beror av en och samma parameter. Om jag kallar denna parameter t skulle jag kunna säga

t= 2x=3y=4z

och från det lösa ut

$x = \frac{1}{2}t$

$y = \frac{1}{3}t$

$z = \frac{1}{4}t$

Så det uttrycket beskriver en linje med riktningsvektor (1/2, 1/3, 1/4), Man kunde även parametrisera med hjälp av x,y eller z men jag brukar föredra att ha en ny parameter.

SeriousCephalopod skrev:
2x=3y=4z
Är shorthand för att var och en av koordinaterna beror av en och samma parameter. Om jag kallar denna parameter t skulle jag kunna säga
t= 2x=3y=4z
och från det lösa ut
$x = \frac{1}{2}t$
$y = \frac{1}{3}t$
$z = \frac{1}{4}t$
Så det uttrycket beskriver en linje med riktningsvektor (1/2, 1/3, 1/4), Man kunde även parametrisera med hjälp av x,y eller z men jag brukar föredra att ha en ny parameter.

okej så andra linjen blir x=1+t, y=2+t, z=1+t?

z = t, men annars ja.

SeriousCephalopod skrev:
z = t, men annars ja.

jag förstår fortfarande inte hur jag ska lösa detta. det finns inga liknande exempel i boken eller på internet, det är helt annorlunda exempel

Jag tycker att det är ett fantastiskt problem i det avseendet att det är ett problem då Polyas (min favoritmatematikers) problemlösningsmetoder faktiskt fungerar rätt väl för att hitta en lösning.

Om man löpte med att försöka relatera problemet till att hitta avståndet mellan två plan i rummet så kan man komma på att man kan konstruera två paralella plan för var och en av linjerna där linjerna ligger i dessa plan. Att hitta kortaste avståndet mellan de två linjerna blir då detsamma som att hitta kortaste avståendet mellan två parallella plan vilket brukar vara ett vanligare problem.

animation över linjerna och planen

blir riktingsvektorn för den andra linjen (1,2,0)?

be5612 skrev:
blir riktingsvektorn för den andra linjen (1,2,0)?

Nej det är linjens "startpunkt" eller en punkt som linjen går igenom i alla fall.

SeriousCephalopod skrev:
be5612 skrev:
blir riktingsvektorn för den andra linjen (1,2,0)?
Nej det är linjens "startpunkt" eller en punkt som linjen går igenom i alla fall.

ja juste, men vad är riktingsvektorn för den då?

x=1+t, y=2+t, z=1

kan skrivas i punktnotation vilket kanske gör det klarare

(x, y, z) =(1 + t, 2 + t, 1 + t) = (1,2,0) + t(1, 1, 1)

SeriousCephalopod skrev:
x=1+t, y=2+t, z=1
kan skrivas i punktnotation vilket kanske gör det klarare
(x, y, z) =(1 + t, 2 + t, 1 + t) = (1,2,0) + t(1, 1, 1)

är det (1, 1, 1)?

ja

SeriousCephalopod skrev:
ja

är (1/2,1/3,1/4) en punkt på första linjen?

eller är det bara (0,0,0)

Gjorde ett försök, inga garantier att det är rätt.

Tror den här uppgiften är lite liknande:

https://www.youtube.com/watch?v=v8woJG1Gj6c&t=170s

Micimacko skrev:
Gjorde ett försök, inga garantier att det är rätt.

Tror den här uppgiften är lite liknande:
https://www.youtube.com/watch?v=v8woJG1Gj6c&t=170s

hur får du att rikitngsvektor blir (6,4,3)?

Jag tog den som ni kom fram till tidigare i tråden och förlängde med 12 för att den var ful helt enkelt. Om jag inte hade haft den att utgå ifrån hade jag antagligen testat mig fram lite vad som uppfyllde ekvationen, jag kände inte igen det skrivsättet sen tidigare.

Micimacko skrev:
Jag tog den som ni kom fram till tidigare i tråden och förlängde med 12 för att den var ful helt enkelt. Om jag inte hade haft den att utgå ifrån hade jag antagligen testat mig fram lite vad som uppfyllde ekvationen, jag kände inte igen det skrivsättet sen tidigare.

tack för hjälpen :). jag körde med en annan metod och jag kom till samma svar som din.