Avstånd mellan plan

Bestäm avståndet mellan planen nedan

$p l a n 1 : x + 3 y - 2 z = 1 p l a n 2 : 2 x + 6 y - 4 z = 8$

Jag börjar med att välja en punkt i varje plan. för att göra det enkelt sätter jag y=z=0

punkten P i plan1 är då (1,0,0)

punkten Q i iplan2 är då(4,0,0)

skapar en vektor PQ = ( 3, 0 ,0)

jag använder sedan normal för plan2 (2,6,-4) för att göra en projicera PQ på n

$\frac{| P Q * n |}{| | n | |} = \frac{3 * 2}{2 \sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}}$ och detta ger mig avståndet

men det jag är lite osäker på är exakt vad gör jag när jag "projicerar PQ på n" ? hittar ingen riktigt bra förklaring :<

(Varning: Fula teckningar ahead)

Situationen är denna:

För att slippa göra allt så kladdigt övergår jag till att rita 2D-bilder utan plan ett, men det är fortfarande två plan egentligen. :)

Normalvektorn till plan två, tillsammans med PQ ser ut såhär:
När du projicerar vektorn PQ på normalvektorn, undersöker vi hur vektorn hade sett ut, om normalvektorns linje hade varit den enda dimension som fanns i systemet. Praktiskt taget: Om vi sätter en lampa bakom vektorn PQ, mäter vi hur lång skuggan av PQ på normalvektorn blir. Ful illustration:

(det lite ljusare grå strecket är markeringen på linjalen av avståndets längd)

Svara