Avstånd mellan plan

Hej,

jag försöker börja med följande uppgift, men hittar inte mycket hjälp i kurslitteraturen;
"Visa först, att planen $2 x + y + z + 3 = 0$ och $2 x + y + z - 3 = 0$ är parallella, och finn sedan avståndet mellan dem"

Det jag vet är att om planen är parallella så har de parallella normalvektorer. Om jag förstått det rätt så kan man derivera planets ekvation för att få fram normalvektorn? Alltså, normalvektorn till planet A=2x+y+z+3=0 är (2, 1, 1)?

Hur gör jag i så fall sen för att ta reda på avståndet mellan planen?

Tack på förhand

Börja med att ta reda på om båda planen har samma normalvektor (eller den ena är en multipel av den andra, om de inte är normerade) - annars är de inte parallella.

Välj en punkt P i plan A. Följ normalvektorn från denna punkt tills du hamnar i plan B. Kalla punkten där du hamnar för Q. Beräkna avståndet mellan punkterna P och Q. Eftersom planen är parallella (jag förutsätter att de är det) så blir avståndet detsamma vilken punkt du än väljer som P.

Tack för tipsen.

Jag får att normalvektorn är (2, 1, 1) för planen A och B. Jag har valt en punkt P=(-1, 1, -2) och vet att punkten Q ligger på linjen P+n*t.

$P + n * t = (- 1, 1, - 2) + (2, 1, 1) * t = (t, 2 t, - t)$

Men här kör jag fast. Hur löser jag ut t? Avståndet d mellan de två punkterna fås i alla fall av $d = |\overset{⇀}{P Q}| = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2} + {(z_{2} - z_{1})}^{2}}$

Förlåt för de dumma frågorna, men kurslitteraturen är inte den mest hjälpsamma...

EDIT: Går det lika bra att räkna ut avståndet till planet B från punkten P? Jag får då svaret $d = - \sqrt{6}$

Hur räknade du ut avstånde från P till planet B? Det är det skulle göra genom att först räkna fram Q. Du har räknat fel när du skriver (t,2t,-t). Första komponenten blir 2t-1 osv.

Jag använde mig utav formeln för avståndet mellan en punkt och ett plan

$d = |\frac{A x_{1} + B y_{1} + C z_{1} + D}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}| = \frac{2 (- 1) + 1 (1) + 1 (- 2) - 3}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + 1^{2}}} = \frac{- 6}{\sqrt{6}} = - \sqrt{6}$

Ja, klantigt av mig. Självklart blir det

$P + n * t = (2 t - 1, t + 1, t - 2)$

Och sätter du in det i plan B får du t=1. Alltså är PQ=(2,1,1) som har längden sqrt(6).

Vad menar du med att "sätta in det i plan B"?

Du börjar i en punkt P1 i plan A och går t steg längs normalvektorn n till en annan punkt P2 = P1 + n*t. Punkten P2 ligger i plan B om ekvationen för plan B är uppfylld i P2. Det ger värdet på t (som också är avståndet mellan planen om n är normerad).

Lösningsalternativ:

Punkterna P1 och P2 måste uppfylla ekvationerna (för att ligga i planen):

En vektor mellan punkterna i planen projicerad på normalen ger oss det vinkelräta avståndet

Svara

Visa senaste svar