Avgöra om påståenden är sanna eller falska
Hej!
Jag vet att f(x) är inverterbar då jag hittade inversen till den. Men hur kan den vara surjektiv?
Det finns inget x sådant att f(x) är negativt. Så funktionen är inte surjektiv. Eller hur? Och då kan den inte vara bijektiv eller inverterbar. Eller hur?
PATENTERAMERA skrev:Det finns inget x sådant att f(x) är negativt. Så funktionen är inte surjektiv. Eller hur? Och då kan den inte vara bijektiv eller inverterbar. Eller hur?
Nu hänger jag inte med här. Jag håller med om att funktionen är positiv för alla reella x. Jag förstår inte varför inget av alternativen är sanna?
Vem har sagt att inget alternativ är sant?
En funktion är inverterbar om den är både injektiv och surjektiv, vilket är samma sak som att vara bijektiv.
Vi har visat att funktionen inte är surjektiv - inte alla värden i målmängden återfinns i värdemängden. Därmed så är den varken bijektiv eller inverterbar.
Är funktionen injektiv? Vad betyder det? Hur kan man visa att en funktion är injektiv?
PATENTERAMERA skrev:Vem har sagt att inget alternativ är sant?
En funktion är inverterbar om den är både injektiv och surjektiv, vilket är samma sak som att vara bijektiv.
Vi har visat att funktionen inte är surjektiv - inte alla värden i målmängden återfinns i värdemängden. Därmed så är den varken bijektiv eller inverterbar.
Är funktionen injektiv? Vad betyder det? Hur kan man visa att en funktion är injektiv?
"Vi har visat att funktionen inte är surjektiv - inte alla värden i målmängden återfinns i värdemängden".
Jag ser inte hur alla värden i målmängden inte finns i värdemängden?
Ja funktionen är injektiv mellan 0 och 1. Man kan stoppa in även tal som är negativ osv och så får man ett entydigt y värde.
Målmängden är . Tex ligger -1 i målmängden, men inte i värdemängden - som bara innehåller positiva tal. Det finns inget x i definitionsmängden sådant att f(x) = -1. Så f är inte surjektiv. Är du med på det?
En funktion är surjektiv om målmängd = värdemängd.
Du kan inte stoppa in negativa x, för definitionsmängden är [0, 1].
Ett standardsätt att visa att f är injektiv är att visa att om x och y ligger i definitionsmängden och f(x) = f(y) så implicerar detta med nödvändighet att x = y.
Dvs utgå från att f(x) = f(y) och visa då måste x = y.
Ett annat sätt är att visa att f är strikt växande på definitionsmängden. Då kan uppenbarligen inte två olika värden i definitionsmängden ge samma funktionsvärde.
PATENTERAMERA skrev:Målmängden är . Tex ligger -1 i målmängden, men inte i värdemängden - som bara innehåller positiva tal. Det finns inget x i definitionsmängden sådant att f(x) = -1. Så f är inte surjektiv. Är du med på det?
En funktion är surjektiv om målmängd = värdemängd.
Du kan inte stoppa in negativa x, för definitionsmängden är [0, 1].
Ett standardsätt att visa att f är injektiv är att visa att om x och y ligger i definitionsmängden och f(x) = f(y) så implicerar detta med nödvändighet att x = y.
Dvs utgå från att f(x) = f(y) och visa då måste x = y.
Ett annat sätt är att visa att f är strikt växande på definitionsmängden. Då kan uppenbarligen inte två olika värden i definitionsmängden ge samma funktionsvärde.
Aa jag är med på det. Det var en assistent som visade injektivitet såhär och jag hängde inte med på hans motsägelsebevis.
Jag hängde inte med på
1. Varför x är skild från y och varför man skriver f(x)=f(y) om man antar att x skild från y är vårt antagande för då borde f(x) vara skild från f(y).
2. Sen skriver han att f(x)<f(y) och f(y)<f(x) motsäger f(x)=f(y) vilket jag inte förstår. Vad har dessa olikheter att göra med f(x)=f(y)?
Injektivitet innebär att om x y så så är f(x) f(y).
Om nu x och y är olika så gäller det antingen att x < y eller att y < x. Eller hur?
Låt oss för enkelhets skull anta att x < y.
Eftersom funktionen är strängt växande och x < y så gäller det att f(x) < f(y), men då är ju inte f(x) = f(y). Om Kalle har mer pengar än Pelle så har de ju inte lika mycket pengar.
PATENTERAMERA skrev:Injektivitet innebär att om x y så så är f(x) f(y).
Om nu x och y är olika så gäller det antingen att x < y eller att y < x. Eller hur?
Låt oss för enkelhets skull anta att x < y.
Eftersom funktionen är strängt växande och x < y så gäller det att f(x) < f(y), men då är ju inte f(x) = f(y). Om Kalle har mer pengar än Pelle så har de ju inte lika mycket pengar.
I häftet står det såhär om injektivitet. Var kommer x skild från y så är f(x) skild från f(y) ifrån när det handlar om injektivitet?
Se bild
Det är ett ekvivalent påstående. Du kan använda vilket som.
PATENTERAMERA skrev:Det är ett ekvivalent påstående. Du kan använda vilket som.
Jag ser inte hur båda är ekvivalenta?
Det är ett specialfall av något som kallas kontraposition. Du kan läsa om det här.
Hursomhelst så kan vi ju använda definitionen i boken och behöver inte bry oss om huruvida det andra formuleringen är ekvivalent med definitionen.
Antag att . Kan du visa att det medför att x = y?
Visa spoiler
.
Om x-y=0 så är uppenbarligen x=y.
Om x+y=0 så måste vi även komma ihåg att x och y skall ligga i [0, 1]. Det betyder att den enda möjligheten för x+y=0 är att x = y = 0. Och återigen är x=y.
Således implicerar f(x) = f(y) att x = y och f är injektiv.
PATENTERAMERA skrev:Hursomhelst så kan vi ju använda definitionen i boken och behöver inte bry oss om huruvida det andra formuleringen är ekvivalent med definitionen.
Antag att . Kan du visa att det medför att x = y?
Visa spoiler
.
Om x-y=0 så är uppenbarligen x=y.
Om x+y=0 så måste vi även komma ihåg att x och y skall ligga i [0, 1]. Det betyder att den enda möjligheten för x+y=0 är att x = y = 0. Och återigen är x=y.
Således implicerar f(x) = f(y) att x = y och f är injektiv.
Okej då är jag med när jag såg spoiler. Men hur kan x=y om x+y=0? Jag tänker det händer bara om x=-y för x+y=0.
0 = -0.
Smaragdalena skrev:0 = -0.
Jahaa okej!
