Avgöra om kontinuerlig i punkt

Hej, försöker lösa uppgift 38. Först och främst så kan vi endast beräkna $f_1(x,y)$ när $(x,y) \neq (0,0)$ .

$f_1(x,y)=3x^2sin{\dfrac{1}{x^2+y^2}}-2\dfrac{x^4+2xy}{{x^2+y^2}^2}cos{\dfrac{1}{x^2+y^2}}$

Kravet för att vara kontinuerlig är att $\lim_{(x,y) \to (0,0)} f_1(0,0)=f_1(0,0)$ . Vet från uppgift 37 att gränsvärdet för $f_1$ i (0,0) är 0. Kvar att visa är att $f_1(0,0)=0$ , hur gör jag det? stoppar jag in (0,0) så får jag division med 0.

Edit: Det ska stå $f_1(x,y)=3x^2sin{\dfrac{1}{x^2+y^2}}-2\dfrac{x^4+xy}{(x^2+y^2)^2}cos{\dfrac{1}{x^2+y^2}}$

Du vet att sinus- och cosinusfunktionerna har absolutvärde <=1. Den första termen kan då uppskattas <= 3x² *1 som går mot 0 när (x,y) går mot (0,0) oavsett vägen dit.

I den andra termen bryter du ut x ur täljaren. Då får du ett uttryck som liknar uppg. 37 med bara den skillnaden att det står cos istället för sin. Men båda dessa var ju absolutbegränsade till 1 och det har du säkert utnyttjat när du löste övn. 37.

Tomten skrev:
Du vet att sinus- och cosinusfunktionerna har absolutvärde <=1. Den första termen kan då uppskattas <= 3x² *1 som går mot 0 när (x,y) går mot (0,0) oavsett vägen dit.

I den andra termen bryter du ut x ur täljaren. Då får du ett uttryck som liknar uppg. 37 med bara den skillnaden att det står cos istället för sin. Men båda dessa var ju absolutbegränsade till 1 och det har du säkert utnyttjat när du löste övn. 37.

Månge tack!

Bara för att upprepa det du skrev. Den första termen kan vi uppskatta som 0 då (x,y)=(0,0) eftersom 3*0²*1 men den andra termen så har vi ju ett bråk innan cos-termen varav vi har 0 i nämnaren då (x,y)=(0,0), vilket medför att f₁(x,y) inte kan existera?

Såg inte "edit" innan jag svarade. Du får 0 i täljaren också så saken måste utredas lite närmare .

Tomten skrev:
Såg inte "edit" innan jag svarade. Du får 0 i täljaren också så saken måste utredas lite närmare .

Så typ genom att testa gränsvärdet längst några linjer?

(x,x)->(0,0) ger $-2\dfrac{x^4+x^2}{4x^4}*1=-1/2(1+\dfrac{1}{x^2})*1=-1/2$

Termen 1/x² inuti parentesen kan kanske göra alla som hoppas på konvergens besvikna?

Tomten skrev:
Termen 1/x² inuti parentesen kan kanske göra alla som hoppas på konvergens besvikna?

Ja juste det blir oändligt stort. Så slutsatsen är att f₁(0,0) saknas helt enkelt

Använd derivatans definition.

$\lim_{h \to 0} \frac{f (h, 0) - f (0, 0)}{h}$ .

Edit: Glöm detta, jag var på fråga 37.

Har du beräknat kurvintegraler iC förut?

Tomten skrev:
Har du beräknat kurvintegraler iC förut?

iC? har nuddat ämnet men inte alls påläst

Om r(t) , a<=t<=b är en parametrisering av en kurva i C så definieras

Int(f(z) dz) längs kurvan =

=Int(f(r(t))•r’ (t)dt mellan a och b. Prova får du se vad som händer.

Tomten skrev:
Om r(t) , a<=t<=b är en parametrisering av en kurva i C så definieras

Int(f(z) dz) längs kurvan =

=Int(f(r(t))•r’ (t)dt mellan a och b. Prova får du se vad som händer.

Jag får återkomma till detta när jag når det kapitlet, några kapitel kvar

Svara

Visa senaste svar