Avgöra om generaliserad integral konvergerar eller divergerar

När det kommer till rationella funktioner så är den prottypiska intregralen

$\int \frac{1}{x^\alpha}dx$

där denna divergerar om exponentens är mindre än 2 $\alpha <>$ och konvergerar om exponenten är större än 2, $\alpha \geq 2$.

Så om du exempelvis ville visa att integralen konvergerar du bör undersöka är om du kan hitta ett

$\frac{1}{x^\alpha}$

som som är större än din funktion och där exponenten är större än eller lika med 2 när x är tillräckligt stort. Dvs att din graf förr eller senare hamna under exempelvis 1/x^2 för då är arean garanterat ändlig. 

SeriousCephalopod skrev:

När det kommer till rationella funktioner så är den prottypiska intregralen

$\int \frac{1}{x^\alpha}dx$

där denna divergerar om exponentens är mindre än 2 $\alpha <>$ och konvergerar om exponenten är större än 2, $\alpha \geq 2$.

 

Så om du exempelvis ville visa att integralen konvergerar du bör undersöka är om du kan hitta ett

$\frac{1}{x^\alpha}$

som som är större än din funktion och där exponenten är större än eller lika med 2 när x är tillräckligt stort. Dvs att din graf förr eller senare hamna under exempelvis 1/x^2 för då är arean garanterat ändlig. 

 Aha. Var aldrig medveten om detta. Kommer detta från en viss sats eller...? Har den satsen ett namn?

EDIT: Testade att räkna ut integralen av 1/x^2 när x->oändligheten i Wolfram Alpha och Wolfram Alpha säger att integralen INTE konvergerar. Va...?

SeriousCephalopod skrev:

När det kommer till rationella funktioner så är den prottypiska intregralen

$\int \frac{1}{x^\alpha}dx$

där denna divergerar om exponentens är mindre än 2 $\alpha <>$ och konvergerar om exponenten är större än 2, $\alpha \geq 2$.

 

Så om du exempelvis ville visa att integralen konvergerar du bör undersöka är om du kan hitta ett

$\frac{1}{x^\alpha}$

som som är större än din funktion och där exponenten är större än eller lika med 2 när x är tillräckligt stort. Dvs att din graf förr eller senare hamna under exempelvis 1/x^2 för då är arean garanterat ändlig. 

 Olikheterna skall väl ändå vara $\alpha \leq 1$ för divergens och $\alpha > 1$ för konvergens då

$\displaystyle \int_1^{\infty} \frac{1}{x}\ dx$ divergerar

medans

$\displaystyle \int_1^{\infty} \frac{1}{x^{1,001}}\ dx$ konvergerar och är lika med $1000$.

EDIT:

Man kan visa varför detta gäller genom att beräkna integralen:

$\displaystyle \int_1^{\infty} \frac{1}{x^{\alpha}}\ dx=[\frac{1}{(1-\alpha)x^{\alpha-1}}]_1^{\infty}$

Gränsvärdet för den övre integrationsgränsen konvergerar enbart om $\alpha-1>0$ vilket ger $\alpha>1$.

AlvinB skrev:

SeriousCephalopod skrev:

När det kommer till rationella funktioner så är den prottypiska intregralen

$\int \frac{1}{x^\alpha}dx$

där denna divergerar om exponentens är mindre än 2 $\alpha <>$ och konvergerar om exponenten är större än 2, $\alpha \geq 2$.

 

Så om du exempelvis ville visa att integralen konvergerar du bör undersöka är om du kan hitta ett

$\frac{1}{x^\alpha}$

som som är större än din funktion och där exponenten är större än eller lika med 2 när x är tillräckligt stort. Dvs att din graf förr eller senare hamna under exempelvis 1/x^2 för då är arean garanterat ändlig. 

 Olikheterna skall väl ändå vara $\alpha \leq 1$ för divergens och $\alpha > 1$ för konvergens då

$\displaystyle \int_1^{\infty} \frac{1}{x}\ dx$ divergerar

medans

$\displaystyle \int_1^{\infty} \frac{1}{x^{1,001}}\ dx$ konvergerar och är lika med $1000$.

 Detta låter mer logiskt, men hur tillämpar jag detta faktum för att bevisa att min integral konvergerar. Dem har ju inte samma intervall ([0,$\infty$] mot [1, $\infty$]) eller spelar detta ens någon roll?

Dela upp integrationsintervallet i två - $[0,1]$ och $[1,\infty]$. Du ser snabbt att $[0,1]$-integralen konvergerar och därför kommer konvergensen att bero på den andra delen.

Stämmer att mina olikheter blev knasifga med 1 och inte 2. Skrev fel.

AlvinB skrev:

Dela upp integrationsintervallet i två - $[0,1]$ och $[1,\infty]$. Du ser snabbt att $[0,1]$-integralen konvergerar och därför kommer konvergensen att bero på den andra delen.

 Ahhh... såklart! Varför tänkte jag inte på det! Tack! :)

Låt $N>5$ och $x\geq N$. För sådana $x$ är integranden uppåt begränsad enligt

    $(x^3+1)/(x^5+x^3+1)\leq (x^3+x^3)/(x^5+x^3) = 2/(x^2+1) \leq 2/x^2$. 

Detta betyder att den givna integralen är konvergent.