Avgöra om differentialekvation är linjär eller ej
Jag har lite svårt att förstå hur man kollar ifall en differentialekvation är linjär eller ej. Om jag har och ska avgöra om den är linjär eller ej med avseende på y vad är det då jag kollar på eller kollar efter?
Hjälper detta?
Att den är linjär betyder att om du skriver den på rätt sätt så innehåller varje term max ett y eller ett y' eller ett y" osv som går att bryta ut. Om du kan göra det så måste den vara linjär, som den du har fått.
Om det inte går är den antingen olinjär (ofta om du tex har y*y' eller y^2 eller ln(y) osv) eller så är den skriven på fel sätt. Då kan du testa med att stoppa in någon enkel funktion y och se om den beter sig linjärt, alltså följer f(a+b) =f(a) + f(b). För att testa det delar man upp allt som innehåller y på en sida (som blir f) och allt som inte innehåller y på andra sidan, det används inte nu.
Om vi tittar på den linjära y +2y'=x och testar stoppa in något snällt y, tex y=x så är f(y) =y+2y'.
f(x) +f(x) = (x+2)+(x+2)=2x+4
f(x+x)=(x+x)+2*(1+1)=2x+4
men den olinjära ekvationen y*y'=0 ger med samma y
f(x) +f(x) =x*1 + x*1 = 2x
f(x+x)=2x*(1+1)=4x
Tänk på att ett motexempel räcker för att visa att den andra inte är linjär, men att det stämmer räcker inte för att visa att den första är det, man kan ju bara ha haft tur och fått samma.
Micimacko skrev:Att den är linjär betyder att om du skriver den på rätt sätt så innehåller varje term max ett y eller ett y' eller ett y" osv som går att bryta ut. Om du kan göra det så måste den vara linjär, som den du har fått.
Om det inte går är den antingen olinjär (ofta om du tex har y*y' eller y^2 eller ln(y) osv) eller så är den skriven på fel sätt. Då kan du testa med att stoppa in någon enkel funktion y och se om den beter sig linjärt, alltså följer f(a+b) =f(a) + f(b). För att testa det delar man upp allt som innehåller y på en sida (som blir f) och allt som inte innehåller y på andra sidan, det används inte nu.
Om vi tittar på den linjära y +2y'=x och testar stoppa in något snällt y, tex y=x så är f(y) =y+2y'.
f(x) +f(x) = (x+2)+(x+2)=2x+4
f(x+x)=(x+x)+2*(1+1)=2x+4
men den olinjära ekvationen y*y'=0 ger med samma y
f(x) +f(x) =x*1 + x*1 = 2x
f(x+x)=2x*(1+1)=4x
Tänk på att ett motexempel räcker för att visa att den andra inte är linjär, men att det stämmer räcker inte för att visa att den första är det, man kan ju bara ha haft tur och fått samma.
Okej, men då förstår jag hur man kan tänka. Tack så mycket för att du tog dig tid att förklara!
