Avgöra med jämförelsesats om konvergent/divergent integral

Avgör med jämförelsesats om följande generaliserad integral är konvergent eller divergent.

${\int }_1^{\infty }\frac{1}{x^2-\ln x}dx$

Jämförelsesats:

Om

$0\le f\left(x\right)\le g\left(x\right)$

för alla x i integrationsintervallet så gäller:

a) om den generaliserade integralen med g(x) som integrand är konvergent så är integralen med f(x) som integrand också konvergent,

b) om den generaliserade integralen med f(x) som integrand är divergent så är integralen med g(x) som integrand också divergent.

Lösning:

I lösningsförslaget använder de standardgränsvärdet $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\ln x}{x^2}=0$ genom att inse att $\frac{\ln x}{x^2}<\frac{1}{2}$ "om x är tillräckligt stort." Jag kontrollerade att det stämmer genom att se att då x=1 så är $\frac{\ln x}{x^2}=\frac{\ln 1}{1^2}=\frac{0}{1}=0$ och när x>1 så är $\frac{\ln x}{x^2}>0$ och $\frac{\ln x}{x^2}\to 0$ då $x\to \infty$. Alltså ökar värdet på uttrycket först när x>1 för att sedan minska och gå mot noll. Så jag deriverade uttrycket för att se vilket x-värde som gav derivatan värdet noll (för att se "vändningen") och fick att $\left(\frac{\ln x}{x^2}\right)\text{'}=\frac{1-2·\ln x}{x^3}=0\Rightarrow x=\sqrt{e}$ . Och $\frac{\ln \sqrt{e}}{(\sqrt{e}{)}^2}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}}{e}=\frac{1}{2e}$, så maxvärdet för $\frac{\ln x}{x^2}$ i intervallet $[1, \infty )$ är $\frac{1}{2e}$, dvs mindre än $\frac{1}{2}$.

Så det stämmer. Resten av lösningen går ut på att bryta ut $x^2$ från nämnaren och att ersätta $\frac{\ln x}{x^2}$ med $\frac{1}{2}$ och på så vis få en ny funktion g(x) som är större än f(x)$=\frac{1}{x^2-\ln x}$ samt vars integral är uppenbart konvergent. Problemet jag har är att se hur de kommer på att de ska använda detta gränsvärde. Är detta gränsvärde (eller andra gränsvärden) vanliga att använda på detta viset när det kommer till sådana uppgifter? Dvs lite utav ett vant öga, eller har de kommit fram till det på något annat vis? Ni som är vana vid matematik på denna nivå, kan ni på något vis se hur ni kommer fram till en sådan lösning? Det kan ju faktiskt vara så att det är en "vanesak", men vill ändå höra ifall jag missar något.