Avgör om serien är konvergent eller divergent

Har nu ett tag brottats med att avgöra om serier är konvergenta eller divergenta. Jag har bra koll på ett antal kriterier, de jag använder mig av är, gränsjämförelsekriteriet, integralkriteriet, kvotkriteriet och p-serier.

Det som jag finner mest svårt är hur jag ska hantera serien för att kunna applicera någon eller flera av dessa kriterier. kvotkriteriet går oftast bra de gånger som det faktiskt ger något svar, dessvärre är det få serier där just det kriteriet är kraftfullt.

Uppgiften jag sitter med just nu är följande.

Avgör om serien $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\sqrt{(n^{12} - 12)}}{2^{n}}$ är konvergent eller divergent. Motivera
noggrant och ange eventuella konvergenskriterier som används.

Mitt försök till en lösning är följande:

Jag vill använda gränsjämförelsekriteriet som kan definieras som

Gränsjämförelsekriteriet: Låt {a_n } och {b_n } vara två talföljder så att a_n, b_n >0 och $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = L, L > 0$

i)om L< $\infty$ (ändligt tal): $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ konvergent då är $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ också konvergent

ii)om L>0: $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ divergent då är $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ också divergent

I detta fallet är a_n= $\frac{\sqrt{n^{12} - 12}}{12 + 2^{n}}$

och då kan b_n få genom att man kollar hur serien påverkas för väldigt stora (n) och därmed kan serien förenklas till

b_n= $\frac{n^{6}}{2^{n}}$

Såhär långt brukar jag komma men när jag nu ska avgöra om b_n serien är divergent eller konvergent för att i sin tur kunna genomföra divisionen mellan a_noch b_n tar det stopp. Jag förstår att man kan modifiera b_n för att komma fram till en p-serie och då enkelt avgöra om den är konvergent eller divergent. Det jag däremot har svårare att förstå är hur mycket som man får ändra, i facit skriver de om b_n= $\frac{n^{6}}{2^{n}}$ till b_n= $\frac{n^{6}}{n^{8}} = \frac{1}{n^{2}}$ vilket enligt p-serier ger att b_n då är konvergent och då kan man genom föra divisionen $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}$ för att avgöra om den ursprungliga serien också är konvergent eller inte.

Så det jag egentligen undrar är hur man ska tänka när man för enklar b_n, kan det inte bli så att man råkar modifiera serien alldeles för mycket så att det blir något helt annat?

Låt a(n) vara seriens termer. OBS för n<2 är a(n) ej reell varför summan måste gå från och med n=2. För n >=2 är a(n) positiv och det finns ett tal n₀ sådant att 0<a(n)< 2^-n = b(n) för n>n₀(gäller eftersom täljarens potens är begränsad. Om S(n) är summan av de n första termerna b(n) så är S(n) en geometrisk serie med kvoten 1/2 som är välkänt konvergent. Jämförelsekriteriet ger påst.

Svara