Avgör om sekvensen konvergerar för alla α>0
Jag vill testa om sekvensen {xk} som genereras av uttrycket xn+1=α·xn(1-xn), med x0 i intervallet [1,0], konvergerar för alla α>0 och jag skulle uppskatta hjälp med hur man kan göra detta:
Jag tänkte testa för α; mellan (1) noll och ett, (2) ett och två samt (3) två och tre och skulle uppskatta hjälp med hur man kan göra detta.
Mitt resonemang: Jag tänkte börja med (1) och min tanke var då att ta x0=0,5 samt α=0.6 då jag tolkade dessa som valfria inom de givna intervallen. Då får jag att x0+1=0.6·0.5(1-0.5)=-0.2 men hur går jag vidare efter detta? Och bör jag försöka generera uttrycket för större n också?
Tanken är inte att du ska välja tal, det borde gälla för alla i rätt intervall. Hur fick du fram något negativt från att bara gångra ihop positiva saker?
När är x*(x-1) som störst? Går det kanske att uppskatta en maxgräns?
Vad konvergerar a^x mot i fallet när 0<a<1?
Micimacko skrev:Tanken är inte att du ska välja tal, det borde gälla för alla i rätt intervall. Hur fick du fram något negativt från att bara gångra ihop positiva saker?
När är x*(x-1) som störst? Går det kanske att uppskatta en maxgräns?
Vad konvergerar a^x mot i fallet när 0<a<1?
Ja nu ser jag att det blivit fel, ska såklart vara ett positivt tal egentligen.
Okej så du menar att jag inte behöver dela upp det i mindre intervall utan endast uppskatta en maxgräns? Och om jag trots allt vill göra det i mindre steg för att se hur den utvecklas, ska jag ansätta x till någonting då? Tex, x0=0.5 vilket ger 0.25α och räkna på vad detta ger då 0<α<1?
Och som svar på din fråga, a^x bör konvergera mot 1 i fallet då 0<a<1.
Okej så du menar att jag inte behöver dela upp det i mindre intervall utan endast uppskatta en maxgräns?
Dela upp där du behöver, tex att dra en gräns vid 1 kan vara intressant.
Och om jag trots allt vill göra det i mindre steg för att se hur den utvecklas, ska jag ansätta x till någonting då? Tex, x0=0.5 vilket ger 0.25α och räkna på vad detta ger då 0<α<1?
Nej behåll mellan 0 och 1 om det inte dyker upp någon anledning så det måste delas upp.
Och som svar på din fråga, a^x bör konvergera mot 1 i fallet då 0<a<1.
Nej, du tar gånger något som är mindre än 1 om och om igen, då blir resultatet mindre för varje gång.
Du kan snabbt förstå att om 0≤α≤3 kommer sekvensen konvergera för alla x0. Detta för att lutningen på funktionen som bildas av sekvensen är mindre än 1 vid någon av skärningspunkterna då x=αx(1-x). Detta kan demonstreras med fixpunktsiteration.
Tillägg: 18 sep 2021 04:05
Du undrar kanske strax vad som händer mellan 3 och 4 samt efter 4. Om detta finns det mycket att orda då sekvensen är mycket känd:
https://sv.m.wikipedia.org/wiki/Bifurkationsdiagram
Den är den så kallade logistiska ekvationen som har många intressanta tillämpningar och som kan relateras till Mandelbrot mängden. Se denna video för detaljer:
Veritasium - This equation will change how you see the world (the logistic map)
