Avgör om sekvensen konvergerar för alla α>0

Jag vill testa om sekvensen $\{x_k\}$ som genereras av uttrycket $x_{n+1} = \alpha\cdot x_n(1-x_n)$ , med $x_0$ i intervallet $[1,0]$ , konvergerar för alla $\alpha >0$ och jag skulle uppskatta hjälp med hur man kan göra detta:

Jag tänkte testa för $\alpha;$ mellan (1) noll och ett, (2) ett och två samt (3) två och tre och skulle uppskatta hjälp med hur man kan göra detta.

Mitt resonemang: Jag tänkte börja med (1) och min tanke var då att ta $x_0=0,5$ samt $\α=0.6$ då jag tolkade dessa som valfria inom de givna intervallen. Då får jag att $x_{0+1}=0.6 \cdot 0.5(1-0.5)=-0.2$ men hur går jag vidare efter detta? Och bör jag försöka generera uttrycket för större n också?

Tanken är inte att du ska välja tal, det borde gälla för alla i rätt intervall. Hur fick du fram något negativt från att bara gångra ihop positiva saker?

När är x*(x-1) som störst? Går det kanske att uppskatta en maxgräns?

Vad konvergerar a^x mot i fallet när 0<a<1?

Micimacko skrev:
Tanken är inte att du ska välja tal, det borde gälla för alla i rätt intervall. Hur fick du fram något negativt från att bara gångra ihop positiva saker?

När är x*(x-1) som störst? Går det kanske att uppskatta en maxgräns?

Vad konvergerar a^x mot i fallet när 0<a<1?

Ja nu ser jag att det blivit fel, ska såklart vara ett positivt tal egentligen.

Okej så du menar att jag inte behöver dela upp det i mindre intervall utan endast uppskatta en maxgräns? Och om jag trots allt vill göra det i mindre steg för att se hur den utvecklas, ska jag ansätta x till någonting då? Tex, x₀=0.5 vilket ger 0.25α och räkna på vad detta ger då 0<α<1?

Och som svar på din fråga, a^x bör konvergera mot 1 i fallet då 0<a<1.

Okej så du menar att jag inte behöver dela upp det i mindre intervall utan endast uppskatta en maxgräns?

Dela upp där du behöver, tex att dra en gräns vid 1 kan vara intressant.

Och om jag trots allt vill göra det i mindre steg för att se hur den utvecklas, ska jag ansätta x till någonting då? Tex, x₀=0.5 vilket ger 0.25α och räkna på vad detta ger då 0<α<1?

Nej behåll mellan 0 och 1 om det inte dyker upp någon anledning så det måste delas upp.

Och som svar på din fråga, a^x bör konvergera mot 1 i fallet då 0<a<1.

Nej, du tar gånger något som är mindre än 1 om och om igen, då blir resultatet mindre för varje gång.

Du kan snabbt förstå att om $0\leq\alpha \leq 3$ kommer sekvensen konvergera för alla $x_0$ . Detta för att lutningen på funktionen som bildas av sekvensen är mindre än 1 vid någon av skärningspunkterna då $x=\alpha x(1-x)$ . Detta kan demonstreras med fixpunktsiteration.

Tillägg: 18 sep 2021 04:05

Du undrar kanske strax vad som händer mellan 3 och 4 samt efter 4. Om detta finns det mycket att orda då sekvensen är mycket känd:

https://sv.m.wikipedia.org/wiki/Bifurkationsdiagram

Den är den så kallade logistiska ekvationen som har många intressanta tillämpningar och som kan relateras till Mandelbrot mängden. Se denna video för detaljer:

Veritasium - This equation will change how you see the world (the logistic map)

Svara

Visa senaste svar