Avgör om schemat 𝐵𝜙 → 𝐵̂𝐵𝜙 för den grundläggande doxastiska logiken.

Hej, jag skulle behöva hjälp med nedanstående uppgift:

Avgör och presentera ett kort argument om schemat 𝐵𝜙 → 𝐵̂𝐵𝜙 gäller för den grundläggande doxastiska logiken.

Jag vet att formeln gäller utan hatten på grund av positiv introspektion (KD45 i DXL) men jag vet inte hur jag ska lösa själva uppgiften, och hittar dessvärre inga exempel på hur man kan göra. Alla tips uppskattas!

Jag vet inte hur resonemangen förväntas se ut på din kurs. Om jag inte misstar mig så funkar väl $B$ och $\hat{B}$ syntaktiskt precis som $□$ och $⋄$ och i så fall borde formeln vara giltig i systemet ifråga. Jag använder mest naturlig deduktion och tror att jag kan bevisa satsen med ett sådant motsägelsebevis, men jag är osäker på hur man tolkar en del saker i den doxastiska logiken och därför har jag inte riktigt begreppen för att förklara beviset "på vanlig svenska".

Visa spoiler

$1 . \neg (B ϕ \to \hat{B} B ϕ) (v) A n t a g a n d e 2 . B ϕ (v) F r å n 1 3 . \neg \hat{B} B ϕ (v) F r å n 1 4 . B \hat{B} \neg ϕ (v) F r å n 3 5 . \hat{B} \neg ϕ (w) F r å n 4 (S e r i e l l, v R w) 6 . \neg ϕ (u) F r å n 5 7 . ϕ (u) F r å n 2 (T r a n s i t i v, v R w, w R u) 8 . ⊥ F r å n 6, 7$

Jag vet inte riktigt hur man förstår tillgänglighetsrelationen vRw osv i den doxastiska logiken så jag vet inte exakt hur jag ska förklara vad som händer, men som förhoppningsvis framgår så räcker det att relationen är seriell och transitiv för att beviset ska funka. Formeln borde alltså vara giltig i KD45.

Fråga om det är något du inte förstår och förklara gärna för mig om det är något jag inte har förstått. :)

Svara