Avgör om Q är positivt eller negativt(semi)definit eller indefinit

Då behöver du använda en fyrdimensionell vektor x: 

$\mathit{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{array}\right]$

Och sedan är Q(x) definierad som $Q\left(\mathit{x}\right)={\mathit{x}}^{\mathbf{T}}A\mathit{x}$, där A är en symmetrisk matris. Vilka värden på A gör att alla produkter $x_i\cdot x_j$ är noll, förutom $x_1x_2$ och $x_3x_4$? :)

Smutstvätt skrev:

Då behöver du använda en fyrdimensionell vektor x: 

$\mathit{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{array}\right]$

Och sedan är Q(x) definierad som $Q\left(\mathit{x}\right)={\mathit{x}}^{\mathbf{T}}A\mathit{x}$, där A är en symmetrisk matris. Vilka värden på A gör att alla produkter $x_i\cdot x_j$ är noll, förutom $x_1x_2$ och $x_3x_4$? :)

man kan tänka att det står x1x2-x3x4=0 så blir det då x1x2=x3x4 och uttrycket blir 0 då. Gällande vilken matris på A vet jag inte

Ursäkta, den metoden jag föreslog är onödigt krånglig. Det vi behöver veta är om Q(x) kan anta både negativa och positiva värden, eller inte. Om $x_1x_2=x_3x_4$ blir $Q(x)=0$, det stämmer. Det säger oss att Q måste vara semidefinit eller indefinit, då denna ekvation kan vara uppfylld för andra vektorer än nollvektorn. 

Kan Q anta både positiva och negativa värden, beroende på variablernas värde? Ja. Om $x_1=x_2=1$ och $x_3=x_4=0$, blir värdet positivt. Och om Om $x_1=x_2=0$ och $x_3=x_4=1$, blir värdet negativt. Därmed är Q indefinit. :)

Smutstvätt skrev:

Ursäkta, den metoden jag föreslog är onödigt krånglig. Det vi behöver veta är om Q(x) kan anta både negativa och positiva värden, eller inte. Om $x_1x_2=x_3x_4$ blir $Q(x)=0$, det stämmer. Det säger oss att Q måste vara semidefinit eller indefinit, då denna ekvation kan vara uppfylld för andra vektorer än nollvektorn. 

Kan Q anta både positiva och negativa värden, beroende på variablernas värde? Ja. Om $x_1=x_2=1$ och $x_3=x_4=0$, blir värdet positivt. Och om Om $x_1=x_2=0$ och $x_3=x_4=1$, blir värdet negativt. Därmed är Q indefinit. :)

Jaha okej så man behöver inte konstruera en matris A utan direkt svara på frågan om q(x) är  semidefinit eller positivt/negativt indefinit? 

Definitionen säger detta :  dock säger de ingenting om semidefinit. Så om Q(x) >0 och Q(x)<0 är Q indefinit. 

Njae, åtminstone inte i detta fall. Det är ofta ganska lätt att bevisa att något inte är (allt som behövs är ett motexempel). Semidefinit innebär att Q(x) antar värdet 0, för vektorer som inte är nollvektorn. :)

Nedan finns några exempel i en dimension, som kanske kan hjälpa till att illustrera/hänga upp definitionerna på: 

Positivt definit ($Q(x)=x^2$):

Positivt semidefinit ($Q(x)=(x-2)^2$):

Negativt semidefinit ($Q(x)=-(x-2)^2$):

Negativt definit ($Q(x)=-x^2$):

Indefinit ($Q(x)=-x^2+5$):

Smutstvätt skrev:

Njae, åtminstone inte i detta fall. Det är ofta ganska lätt att bevisa att något inte är (allt som behövs är ett motexempel). Semidefinit innebär att Q(x) antar värdet 0, för vektorer som inte är nollvektorn. :)

 

Nedan finns några exempel i en dimension, som kanske kan hjälpa till att illustrera/hänga upp definitionerna på: 

Positivt definit ($Q(x)=x^2$):

Positivt semidefinit ($Q(x)=(x-2)^2$):

Negativt semidefinit ($Q(x)=-(x-2)^2$):

Negativt definit ($Q(x)=-x^2$):

Indefinit ($Q(x)=-x^2+5$):

Ok tack för hjälpen!

Det var så lite så! :)