Avgör om området har begränsad area

Hej!

Med en kvadratkomplettering kan andragradspolynomet skrivas

    $x^2 + 4x + 3 = (x+2)^2 - 1$

och Konjugatregeln visar på följande faktorisering

    $(x+2)^2 - 1 = (x+3)(x+1),$

vilken i sin tur medger en partialbråksuppdelning av integranden.

    $\frac{1}{x^2+4x+3} = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{x+3}.$

Albiki

Tack för svar!
Jo precis, jag kan beräkna integralen med partialbråksuppdelning.

$$\begin{gathered} \frac{a}{x+1}+\frac{b}{x+3} = \frac{1}{x^2 + 4x + 3} \\ a + b = 0 \Rightarrow a = -b \\ 3a + b = 1 \iff -2b = 1 \\ a = \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}, b = -\frac{1}{2} \\ \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle x^2 + 4x + 3}} = \frac{1}{2}(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+3}) \end{gathered}$$

Det var när jag kom hit som jag gjorde fel:

$\frac{1}{2}{\int }_0^{\infty }(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+3})dx = \frac{1}{2}\underset{R\to \infty }{\lim }(\ln \left|x+1\right|-\ln \left|x+3\right|)|\begin{array}{c}R\\ 0\end{array}$

Eftersom de R går mot oändligheten tar alltså $\ln \left|R + 1\right|$ och $\ln |R + 3|$ ut varandra när man väl beräknar värdet av integralen? Och man får kvar $-\frac{1}{2}\left(\ln \right(1) - \ln (3\left)\right) = \frac{\ln {\displaystyle (}{\displaystyle 3}{\displaystyle )}}{2}$.
Är det rätt tänkt?

Hej!

Enligt räkneregel för logaritmfunktionen kan man skriva

  $\ln (x+1) - \ln(x+3) = \ln \frac{x+1}{x+3} = \ln \frac{1+\frac{1}{x}}{1+\frac{3}{x}} \ to \ln 1 = 0$

när $x \to \infty$; notera att $x+1$ (och $x+3$) är ett positivt tal på intervallet $(0,\infty)$.  Integralen blir därför lika med

    $-\frac{1}{2}\ln \frac{1}{3} = \frac{1}{2}\ln 3$.

Albiki

Då förstår jag! Tack så mycket för hjälpen!