Avgör om integralen är konvergent eller divergent

Hej! Jag har en uppgift som jag vill få lite input på. Jag har en metod när jag löser dessa typer av uppgifter. Jag vill kontrollera med er att jag tänker rätt när jag löser uppgiften.

Integralen jag ska avgöra konvergens/divergens på är följande: 

${\int }_1^{\infty }\frac{1}{x +\ln x}dx$

Det mest naturliga första steget är att först inse att lnx >0 i detta intervall, varför följande olikhet gäller: $\frac{1}{x + \ln x}\le \frac{1}{x}\forall x\in (1,\infty )$

Men eftersom integralen av $\frac{1}{x}$ är divergent så tillför den olikheten ingenting.

Jag studerar därför $\frac{1}{x + \ln x}=\frac{1}{x}*\frac{1}{1 + {\displaystyle \frac{\ln x}{x}}}$ där $1 + \frac{\ln x}{x}\stackrel{x\to \infty }{\to }1$ vilket innebär att vi utan inskränkning kan anta att $1 + \frac{\ln x}{x}\le 2 \iff \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{\ln x}{x}}}\ge \frac{1}{2}$ för tillräckligt stora x (tvåan väljes godtyckligt).

Detta innebär att $\frac{1}{x + \ln x}=\frac{1}{x}*\frac{1}{1 + {\displaystyle \frac{\ln x}{x}}} \ge \frac{1}{x}*\frac{1}{2}=\frac{1}{2x}\Rightarrow {\int }_1^{\infty }\frac{1}{x +\ln x}dx \ge {\int }_1^{\infty }\frac{1}{2x}dx$  där högerledet i olikheten uppenbarligen är divergent. Alltså är ${\int }_1^{\infty }\frac{1}{x +\ln x}dx$ divergent. (Rätt svar).

Då är mina funderingar följande: Är metoden jag använder i detta fall korrekt, gör jag några fel? finns det andra enklare sätt att avgöra att denna integral faktiskt var divergent? Tacksam för svar, mvh!