Avgör om integralen är positiv, negativ eller noll

Smith skrev :

Om man har en integral och ett område som begränsas av b och a (punkter på x -axeln) , där a ligger i andra kvadrant och b i första. Man har grafen över hur det ser ut där det finns ett område under x-axeln och ett ovanför, men inga värden förutom a och b. Man ska avgöra om integralen är positiv, negativ eller noll.. hur ska man då tänka? Kan inte lägga en bild på detta, men hoppas ni förstår vad jag menar. ${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$

Integralens värde = "arean ovanför x-axeln" - "arean under x-axeln".

Därför är integralens värde

• positivt om "arean ovanför" > "arean under"
• negativt om "arean ovanför" < "arean under"
• noll om om "arean ovanför" = "arean under"

Men om jag kollar på grafen så ser jag inte med hjälp av ögats hjälp om integralen är positiv eller negativ.. för det finns ett stort område över x-axeln och två små områden under x-axeln.. det finns inte heller några siffror att beräkna med.. 

Smith skrev :

Men om jag kollar på grafen så ser jag inte med hjälp av ögats hjälp om integralen är positiv eller negativ.. för det finns ett stort område över x-axeln och två små områden under x-axeln.. det finns inte heller några siffror att beräkna med.. 

Står det något om hur f(x) är definierad?

Kan du lägga upp en bild på uppgiften här?

Ta en bild med mobilen och ladda upp genom att klicka på ikonen som ser ut som en "tavla" (gulmarkerad):

Smith skrev :

Om du integrerar f(x) från a till b så kommer de blå ytorna som ligger över x-axeln att ge ett positivt bidrag till integralens värde medan de blå ytor som ligger under x-axeln kommer att ge ett negativt bidrag till integralens värde.

Så frågan här är alltså om den blåa ytan som ligger ovanför x-axeln är större, mindre eller lika stor som summan av de blå ytor som ligger under x-axeln (för respektive uppgift).

Det kan du avgöra med blotta ögat.

• Om du tittar på a-uppgiften, vilken av de blåa ytorna ser störst ut, den som ligger över eller den som ligger under x-axeln?
• Om du tittar på b-uppgiften, ser det ut som om några av de blå ytorna är lika stora?
• Om du tittar på c-uppgiften, ser det ut som om de två blå ytorna som ligger under x-axeln tillsammans är större än, mindre än eller lika stora som den blå ytan som ligger ovanför x-axeln?

Jag har tänkt så men c) gör det svårt för mig.. jag ser att övre område är ju större därav är den positiv men enligt facit är det negativt? Och i b) är det halv sådär att avgöra.. jag tänker att det är svårt för mig att skapa bilden över den sammanlagda områden under grafen exempelvis i uppgift c)

Smith skrev :

Jag har tänkt så men c) gör det svårt för mig.. jag ser att övre område är ju större därav är den positiv men enligt facit är det negativt? Och i b) är det halv sådär att avgöra.. jag tänker att det är svårt för mig att skapa bilden över den sammanlagda områden under grafen exempelvis i uppgift c)

Jag tycker att följande är väldigt tydligt (namngivning av områden enligt bild):

a-uppgiften: Område B är större än område A. Integralens värde är därför positivt.

b-uppgiften: Område C och D är lika stora och "tar ut varandra". Kvar blir område E som ger ett negativt bidrag. Integralens värde är därför negativt.

c-uppgiften: Område G är större än områden F och H tillsammans. Integralens värde är därför positivt.

Om det inte står så är det fel i facit.

Ja det är det som förvirrade mig. 

En fråga : hur kan ett område som är noll se ut då?

Smith skrev :

Ja det är det som förvirrade mig. 

En fråga : hur kan ett område som är noll se ut då?

Menar du hur en integral kan få värdet noll trots att funktionen är skild från noll?

Då kan vi som exempel ta ${\int }_0^{2\pi }\sin \left(x\right)dx$, som har värdet 0 eftersom delen ovanför x-axeln är lika stor som delen under x-axeln.

Då förstår jag tack!