Avgör om gränsvärdet existerar ?

Arup skrev:

Har lite problem med denna 

"Avgör om följande gränsvärde existerar 

$\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\frac{x^2}{x+1}-\frac{x^2}{x+2}\right)$ 

Har du problem med att förstå vad det är man vill att du skall göra, eller problem med att göra det?

Mitt första försök skulle vara att skriva uttrycket som ETT bråk.

Problem med vad man ska göra

Då fick du ett tips i mitt första inlägg. Hur ser uttrycket ut när du har gjort så?

Smaragdalena skrev:

Då fick du ett tips i mitt första inlägg. Hur ser uttrycket ut när du har gjort så?

Så här:

Du tappade bort lim vid sista implikationspilen. Bryt ut x² både i täljaren och nämnaren och låt x gå mot oändligheten. Vad händer?

Smaragdalena skrev:

Du tappade bort lim vid sista implikationspilen. Bryt ut x² både i täljaren och nämnaren och låt x gå mot oändligheten. Vad händer?

Behöver man inte göra detta med L'hopitals regel? Dessutom två gånger för att få att gränsvärdet blir 1?

Edit: Jag inser vad du menar nu. Bra lösningsmetod!

I fallet med rationella funktioner behöver man aldrig regeln. Dessutom ska man vara försiktig med L'Hôpital, det kan bli logiskt fel väldigt fort. Exempelvis kan man inte använda L'Hôpital i det här gränsvärdet:

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$

Kan du se varför?

Tillägg: 10 jul 2024 17:06

Oj, såg inte att detta inte var shkans tråd. Om du inte ser varför får du gärna skapa en ny tråd, @shkan! :)

naytte skrev:

I fallet med rationella funktioner behöver man aldrig regeln. Dessutom ska man vara försiktig med L'Hôpital, det kan bli logiskt fel väldigt fort. Exempelvis kan man inte använda L'Hôpital i det här gränsvärdet:

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$

Kan du se varför?

---

Tillägg: 10 jul 2024 17:06

Oj, såg inte att detta inte var shkans tråd. Om du inte ser varför får du gärna skapa en ny tråd, @shkan! :)

Man får inte använda sig av L'hopitals regel i det för att du behöver kunna veta gränsvärdet för att lösa för gränsvärdet (i det här fallet för att veta vad derivatan av sin(x) är, för denna gränsvärdet ligger inuti derivatan av sin x när man använder sig av derivatans definition.). Däremot argumenteras det om att L'hopitals regel kan användas om man vill inte fokusera på det logiska. Det ger korrekt svar, fast logiken bakom det anses vara felaktigt. (jag tror det här är svaret i så fall). Källa: calculus - L'Hopital's rule and $\frac{\sin x}x$ - Mathematics Stack Exchange

Finns det inget enklare sätt att lösa problemet avsett för ma 3 ?

Du är nästan framme i inlägg #5. Det är den metoden man skall använda i Ma3.

Hur förenklar jag den sista raden 

$\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\frac{x^2}{x^2+3x+2}\right)$

?

Dividera täljare och nämnare med x²

Calle_K skrev:

Dividera täljare och nämnare med x²

Ok, så då får jag

$\underset{x\to \infty }{\lim }(1+3x+\frac{x^2}{2})$

Vad gör jag nu ?

Det där stämmer tyvärr inte. Behåll kvoten, och dividera både täljare och nämnare var för sig med x²

Calle K har du möjlighet att visa. Jag verkar helt glömmt bort detta

Om du dividerar täljaren med x² får du 1.

Vad får du om du dividerar nämnaren med x²?

har du möjlighet att visa jag verkar ha tappat bort mig helt

Vad är nämnaren i ditt bråk?

Calle K jag förstår inte hur du menar med att dela var för sig ?

Är det här rätt ?

Arup skrev:

Är det här rätt ?

Arup, ditt uttryck borde istället bli:

1/(1 + 3/x + 2/[x^2]), dvs  $\frac{1}{(1 + {\displaystyle \frac{3}{x}}+{\displaystyle \frac{2}{x^2}})}$, för att du faktoriserar x^2 från både täljaren och nämnaren.

Vad händer nu då om du låter x gå mot oändligheten, vad händer?

Tack, blir inte uttrycket så litet som möjligt ?

Arup skrev:

Tack, blir inte uttrycket så litet som möjligt ?

3/x går mot noll, och 2/x^2 går mot noll. Detta innebär att uttrycket blir 1/1, vilket motsvarar 1.

hur då ?

Arup skrev:

hur då ?

Låt oss säga att x är ett jätte stort tal, kanske 1000000000000000000000000000 (kan vara mindre eller större än så). Vad händer om du sätter den där talen i 3/x, och 2/x^2?

bråket blir väldigt  litet

Arup skrev:

bråket blir väldigt  litet

Exakt! Så om vi säger att x i 3/x och 2/x^2 går mot oändligheten, vilket värde tror du passar bäst i de hära uttrycken?

1

Arup skrev:

1

det blir noll, för att x blir väldigt liten.

Just det

Så svaret är alltså att gränsvärdet existerar

Arup skrev:

Så svaret är alltså att gränsvärdet existerar

Ja